Учебник · Глава 9
Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.
7. Схема со стабилизирующей поправкой.
|
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (9.4)
в схему со стабилизирующей поправкой, имеющую вид с учётом обозначений (9.2):
| |
 |
(9.16) |
Для записи схемы (9.16) необходимо выделить два пространственных направления (в данном случае y и z)
и учесть поправку по каждому из них (во второй и третьей подсхемах, соответственно). Схема со
стабилизирующей поправкой (9.16) рекомендуется для использования в случае, если существует особенность
поведения (например, осцилляции) искомой функции u в одном или двух пространственных направлениях.
Первая подсхема в схеме со стабилизирующей поправкой (9.16) аппроксимируется
на первой трети интервала  t и является неявной по координате x, явной по координате y и явной по координате z.
Вторая подсхема аппроксимируется на второй трети интервала t, является неявной по координате y и учитывает
поправку по этой координате. Третья подсхема аппроксимируется на последней трети интервала t, является неявной
по координате z и учитывает поправку по этой координате. Каждая из подсхем (как и в случае схемы расщепления
(9.7)-(9.9)) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки.
Складывая подсхемы, получаем:
Данное соотношение показывает, что схема со стабилизирующей поправкой (9.16) имеет, как и неявная
разностная схема (9.4), первый порядок аппроксимации по времени и второй -
по каждой из координат:
Алгоритм решения схемы со стабилизирующей поправкой (9.16) аналогичен алгоритму решения
схемы расщепления (9.7)-(9.9).
Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
для первой подсхемы
для второй подсхемы
для третьей подсхемы
Легко видеть, что для всех трёх подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|
