|
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (9.4)
в схему со стабилизирующей поправкой, имеющую вид с учётом обозначений (9.2):
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/3} + \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n} + \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}, \\ \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+2/3} - \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n}, \\ \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1} - \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n}. \end{gathered}\) |
(9.16) |
Для записи схемы (9.16) необходимо выделить два пространственных направления (в данном случае y и z)
и учесть поправку по каждому из них (во второй и третьей подсхемах, соответственно). Схема со
стабилизирующей поправкой (9.16) рекомендуется для использования в случае, если существует особенность
поведения (например, осцилляции) искомой функции u в одном или двух пространственных направлениях.
Первая подсхема в схеме со стабилизирующей поправкой (9.16) аппроксимируется
на первой трети интервала δt и является неявной по координате x, явной по координате y и явной по координате z.
Вторая подсхема аппроксимируется на второй трети интервала δt, является неявной по координате y и учитывает
поправку по этой координате. Третья подсхема аппроксимируется на последней трети интервала δt, является неявной
по координате z и учитывает поправку по этой координате. Каждая из подсхем (как и в случае схемы расщепления
(9.7)-(9.9)) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки.
Складывая подсхемы, получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/3} + \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+2/3} + \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Данное соотношение показывает, что схема со стабилизирующей поправкой (9.16) имеет, как и неявная
разностная схема (9.4), первый порядок аппроксимации по времени и второй -
по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2).\) |
|
Алгоритм решения схемы со стабилизирующей поправкой (9.16) аналогичен алгоритму решения
схемы расщепления (9.7)-(9.9).
Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
для первой подсхемы
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} a_j = c_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k\,\Delta t, \\ \xi_{j,k,m}^{n} = u_{j,k,m}^{n} + \sigma\,\Delta t\, \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n} + \sigma\,\Delta t\, \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n} + \Delta t\, f_{j,k,m}^{n}; \end{gathered}\) |
|
для второй подсхемы
| |
\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k,m}^{n+1/3} = u_{j,k,m}^{n+1/3} - \sigma\,\Delta t\, \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n};\) |
|
для третьей подсхемы
| |
\(\displaystyle \widetilde{\widetilde{a}}_m = \widetilde{\widetilde{c}}_m = -\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{b}}_m = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{\xi}}_{j,k,m}^{n+2/3} = u_{j,k,m}^{n+2/3} - \sigma\,\Delta t\, \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Легко видеть, что для всех трёх подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|