|
Используя введённые обозначения, запишем аппроксимацию дифференциальных операторов,
составляющих уравнение (9.1), в точке \(\displaystyle t^n, x_j, y_k, z_m\). Для аппроксимации производной функции u по времени обычно используется
правая конечная разность (со стабилизацией значений независимых переменных x, y и z
в точках с порядковыми номерами j, k и m, соответственно):
| |
\(\displaystyle \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t^n, x_j, y_k, z_m} \rightarrow \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}.\) |
|
Для аппроксимации производных второго порядка будем использовать разностный оператор (2.12)
(со стабилизацией значения независимой переменной t в точке с порядковым номером n):
| |
\(\displaystyle \left. \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right|_{t^n, x_j, y_k, z_m} \rightarrow \lambda_{xx} u_{j,k,m}^{n} = \frac{u_{j+1,k,m}^{n} - 2u_{j,k,m}^{n} + u_{j-1,k,m}^{n}}{h_x^2}, \qquad \left. \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right|_{t^n, x_j, y_k, z_m} \rightarrow \lambda_{yy} u_{j,k,m}^{n} = \frac{u_{j,k+1,m}^{n} - 2u_{j,k,m}^{n} + u_{j,k-1,m}^{n}}{h_y^2}, \qquad \left. \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right|_{t^n, x_j, y_k, z_m} \rightarrow \lambda_{zz} u_{j,k,m}^{n} = \frac{u_{j,k,m+1}^{n} - 2u_{j,k,m}^{n} + u_{j,k,m-1}^{n}}{h_z^2}.\) |
(9.2) |
Подставляя записанные разностные операторы в дифференциальное уравнение (9.1),
получаем явную разностную схему, аппроксимирующую уравнение (9.1) в точке \(\displaystyle (t^n, x_j, y_k, z_m)\):
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \lambda_{xx} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{yy} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{zz} u_{j,k,m}^{n} \right) - k u_{j,k,m}^{n} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
(9.3) |
Рассматривая аппроксимацию производных второго порядка на (n + 1)-ом шаге по времени, получаем неявную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \lambda_{xx} u_{j,k,m}^{n+1} + \lambda_{yy} u_{j,k,m}^{n+1} + \lambda_{zz} u_{j,k,m}^{n+1} \right) - k u_{j,k,m}^{n+1} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
(9.4) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов,
использованных при составлении разностных схем (9.3), (9.4), легко видеть, что они
имеют первый порядок аппроксимации по времени и второй - по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2, h_z^2).\) |
|
|