Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа. Схема предиктор-корректор. Характеристика подсхем.

Учебник · Глава 9

Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.

8. Схема предиктор-корректор.

8.2. Характеристика подсхем.

Каждая из подсхем, составляющих предиктор (9.17)-(9.19), является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

для первой подсхемы предиктора (9.17)

\(\displaystyle a_j = c_j = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad \xi_{j,k,m}^{n} = u_{j,k,m}^{n};\)

для второй подсхемы предиктора (9.18)

\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k,m}^{n+1/6} = u_{j,k,m}^{n+1/6};\)

для третьей подсхемы предиктора (9.19)

\(\displaystyle \widetilde{\widetilde{a}}_m = \widetilde{\widetilde{c}}_m = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{b}}_m = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{\xi}}_{j,k,m}^{n+1/3} = u_{j,k,m}^{n+1/3}.\)

Легко видеть, что для всех трёх подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.

Правая часть корректора (9.20) аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\). Это означает, что разностный оператор в левой части является центральной конечной разностью, которая, как известно, имеет второй порядок аппроксимации. Следовательно, роль корректора (9.20) в схеме предиктор-корректор (9.17)-(9.20) заключается в повышении порядка аппроксимации схемы по времени:

\(\displaystyle O(\Delta t^2,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2),\)

что делает её более точной по сравнению со схемой расщепления (9.7)-(9.9).
Для решения корректора (9.20) используется рекуррентное соотношение:

\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n+1} = u_{j,k,m}^{n} + \Delta t \left( \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} - k u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{n+1/2} \right).\)

(9.21)

Итак, роль предиктора (9.17)-(9.19) в схеме предиктор-корректор (9.17)-(9.20) заключается в обеспечении абсолютной устойчивости всей схемы; роль корректора (9.20) - в повышении порядка аппроксимации схемы по времени.

← 8.1. Методика записи уравнений схемы 8.3. Алгоритм решения →