Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа. Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.

Учебник · Глава 9

Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.

1. Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.

В математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов могут встречаться не только одномерные и двумерные дифференциальные уравнения, но и трёхмерные. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности для нестационарного трёхмерного температурного поля:

\(\displaystyle \rho C_T \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right) + q,\)

где Т - температура; \(\displaystyle C_T, \rho, \lambda\) - теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала; x, y, z - пространственные координаты; q - внутренний источник (сток) теплоты.
Данное уравнение является трёхмерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его трёхмерность обусловлена тем, что температура Т - функция четырёх переменных, три из которых являются пространственными координатами:

\(\displaystyle T = T(t, x, y, z).\)

Уравнение вихря скорости, являющееся преобразованием уравнения Навье-Стокса, - ещё один пример трёхмерного дифференциального уравнения параболического типа:

\(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t} + v^x \frac{\partial \xi}{\partial x} + v^y \frac{\partial \xi}{\partial y} + v^z \frac{\partial \xi}{\partial z} = \gamma \left( \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial z^2} \right).\)

Методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа во многом схожи с методами численного решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Однако между ними имеются и отличия, обусловленные более высокой размерностью разностной сетки, что оказывает влияние и на условие устойчивости явной разностной схемы, и на методику расщепления шага по времени при использовании метода дробных шагов, и на увеличение сложности расчётных алгоритмов. Как и в случае двумерных задач, рассмотрим сначала методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, не содержащих производных по координатам первого порядка; обобщённый подход к решению трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, которые могут содержать первые производные по координатам, представлен в конце главы.

← 4.2. Частные случаи 2. Разностная сетка для трёхмерных задач →