Учебник · Глава 9
Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.
1. Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.
|
В математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов могут встречаться не только одномерные и двумерные дифференциальные уравнения, но и трёхмерные. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности для нестационарного трёхмерного температурного поля:
 - теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала;
x, y, z - пространственные координаты; q - внутренний источник (сток) теплоты.
Данное уравнение является трёхмерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его трёхмерность обусловлена тем, что температура Т - функция четырёх переменных, три из которых являются пространственными координатами:
Методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа во многом схожи с методами численного решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Однако между ними имеются и отличия, обусловленные более высокой размерностью разностной сетки, что оказывает влияние и на условие устойчивости явной разностной схемы, и на методику расщепления шага по времени при использовании метода дробных шагов, и на увеличение сложности расчётных алгоритмов. Как и в случае двумерных задач, рассмотрим сначала методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, не содержащих производных по координатам первого порядка; обобщённый подход к решению трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, которые могут содержать первые производные по координатам, представлен в конце главы. |
