|
4.2. Частные случаи.
Рассмотрим двумерное дифференциальное уравнение
параболического типа, в котором отсутствует производная второго порядка по одной из координат:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v_1 \frac{\partial u}{\partial x} + v_2 \frac{\partial u}{\partial y} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - ku + f(t, x, y); \qquad v_1 > 0, \ v_2 > 0, \ k \ge 0, \ \sigma > 0.\) | (8.19) |
Схема расщепления для уравнения (8.19) имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} = -k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = \sigma \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}.\) | (8.20) |
Первая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка; она абсолютно устойчива и решается с помощью
рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \frac{u_{j,k}^{n} + v_1 \frac{\Delta t}{h_x} u_{j-1,k}^{n+1/2} + \Delta t \, f_{j,k}^{n}}{1 + v_1 \frac{\Delta t}{h_x} + k \Delta t}.\) | |
Вторая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного
дифференциального уравнения параболического типа; она также абсолютно устойчива, но решается
с помощью метода прогонки. Данное обстоятельство должно быть учтено при составлении алгоритма
решения схемы расщепления (8.20), аппроксимирующей уравнение (8.19).
Запишем для уравнения (8.19) схему переменных направлений:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n}}{h_y} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n+1/2}.\) | |
Обратим внимание на то обстоятельство, что отсутствие в уравнении (8.19) второй производной по
координате x не оказывает влияния на методику аппроксимации второй производной по координате y.
Как и в случае схемы расщепления (8.20), обе подсхемы абсолютно устойчивы;
первая подсхема решается с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \frac{u_{j,k}^{n} + \frac{v_1}{2} \frac{\Delta t}{h_x} u_{j-1,k}^{n+1/2} - \frac{v_2}{2} \frac{\Delta t}{h_y} \left( u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n} \right) + \frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_y^2} \left( u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n} \right)}{1 + \frac{v_1}{2} \frac{\Delta t}{h_x}},\) | |
вторая подсхема - с помощью метода прогонки.
|