Решение двумерных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих первые производные по координатам. Частные случаи.

Учебник · Глава 8

Решение двумерных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

4. Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих первые производные по координатам.

4.2. Частные случаи.

Рассмотрим двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором отсутствует производная второго порядка по одной из координат:

(8.19)

Схема расщепления для уравнения (8.19) имеет вид:

(8.20)

Первая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка; она абсолютно устойчива и решается с помощью рекуррентного соотношения:

Вторая подсхема в схеме (8.20) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа; она также абсолютно устойчива, но решается с помощью метода прогонки. Данное обстоятельство должно быть учтено при составлении алгоритма решения схемы расщепления (8.20), аппроксимирующей уравнение (8.19).

Запишем для уравнения (8.19) схему переменных направлений:

Обратим внимание на то обстоятельство, что отсутствие в уравнении (8.19) второй производной по координате x не оказывает влияния на методику аппроксимации второй производной по координате y.
Как и в случае схемы расщепления (8.20), обе подсхемы абсолютно устойчивы; первая подсхема решается с помощью рекуррентного соотношения:

вторая подсхема - с помощью метода прогонки.

← 4.1. Общие правила 5. Задания для самоконтроля →