|
2.3. Метод решения с использованием схемы расщепления.
Для решения неявных разностных схем (8.8)-(8.11), аппроксимирующих
дифференциальное уравнение (8.1), используется метод дробных шагов, подробно рассмотренный нами
при изучении методов решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Суть метода
дробных шагов заключается в расщеплении интервала δt пополам (см. рисунок), что позволяет представить
неявную разностную схему в виде двух подсхем, каждая из которых имеет более простой метод решения.
Рассмотрим методику решения неявных разностных схем (8.8)-(8.11) на примере разностной схемы (8.8).
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (8.8) в схему расщепления:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} = f_{jk}^{n}; \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = 0.\) | (8.12) |
Первая подсхема аппроксимируется на первом полушаге интервала δt и является неявной по координате x.
Вторая подсхема аппроксимируется на втором полушаге интервала δt и является неявной по координате y.
Складывая обе подсхемы, получаем соотношение, отличающееся от разностной схемы (8.8) только тем,
что производная по координате x аппроксимируется в нём не на (n + 1)-ом шаге по времени,
а на шаге (n + 1/2):
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n}.\) | |
Данное соотношение показывает, что схема расщепления (8.12) имеет, как и неявная разностная схема (8.8),
первый порядок аппроксимации и по времени, и по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h_x, h_y).\) | |
Каждая из подсхем схемы расщепления (8.12),
являясь аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка,
абсолютно устойчива и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \frac{u_{j,k}^{n} + v_1 \frac{\Delta t}{h_x} u_{j-1,k}^{n+1/2} + \Delta t\, f_{jk}^{n}}{1 + v_1 \frac{\Delta t}{h_x}}; \qquad u_{j,k}^{n+1} = \frac{u_{j,k}^{n+1/2} + v_2 \frac{\Delta t}{h_y} u_{j,k-1}^{n+1}}{1 + v_2 \frac{\Delta t}{h_y}}.\) | (8.13) |
Для реализации рекуррентных соотношений (8.13) требуется знать значения \(\displaystyle u_{1,k}^{n+1/2}, u_{j,1}^{n+1}\),
определяемые с помощью граничных условий:
| |
\(\displaystyle u_{1,k}^{n+1/2} = \varphi(t^{n+1/2}, y_k), \qquad u_{j,1}^{n+1} = \psi(t^{n+1}, x_j).\) | |
|
