|
2.1. Характеристика.
Применение правила выбора конечной разности для аппроксимации первой
производной по координате к двумерным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка
позволяет записать для уравнения (8.1), учитывая различные варианты знаков v1 и v2, четыре неявные
разностные схемы, которые с учётом обозначений, введённых при описании разностной сетки для
двумерных задач, имеют вид:
| |
\(\displaystyle 1.\ v_1 > 0,\ v_2 > 0: \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j-1,k}^{n+1}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n};\) |
(8.8) |
| |
\(\displaystyle 2.\ v_1 > 0,\ v_2 < 0: \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j-1,k}^{n+1}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n};\) |
(8.9) |
| |
\(\displaystyle 3.\ v_1 < 0,\ v_2 > 0: \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j+1,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n};\) |
(8.10) |
| |
\(\displaystyle 4.\ v_1 < 0,\ v_2 < 0: \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j+1,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n}.\) |
(8.11) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов,
из которых составлены разностные схемы (8.8)-(8.11), легко видеть, что каждая из них
имеет первый порядок аппроксимации и по времени, и по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h_x, h_y).\) |
|
Для решения разностных схем (8.8)-(8.11) требуется правильно задать начальное и граничные условия:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} & t \in \left[0, t_k\right], \quad x \in \left[a, b\right], \quad y \in \left[c, d\right]; \\ &1.\ v_1 > 0,\ v_2 > 0: \quad u(t=0, x, y) = \xi(x, y), \quad u(t, x=a, y) = \varphi(t, y), \quad u(t, x, y=c) = \psi(t, x); \\ &2.\ v_1 > 0,\ v_2 < 0: \quad u(t=0, x, y) = \xi(x, y), \quad u(t, x=a, y) = \varphi(t, y), \quad u(t, x, y=d) = \psi(t, x); \\ &3.\ v_1 < 0,\ v_2 > 0: \quad u(t=0, x, y) = \xi(x, y), \quad u(t, x=b, y) = \varphi(t, y), \quad u(t, x, y=c) = \psi(t, x); \\ &4.\ v_1 < 0,\ v_2 < 0: \quad u(t=0, x, y) = \xi(x, y), \quad u(t, x=b, y) = \varphi(t, y), \quad u(t, x, y=d) = \psi(t, x). \end{aligned}\) |
|
|