|
Приведём сравнительную характеристику разностных схем,
аппроксимирующих двумерное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v_1 \frac{\partial u}{\partial x} + v_2 \frac{\partial u}{\partial y} = f(t, x, y).\) | |
Для определённости рассмотрим случай \(\displaystyle v_1 > 0, \ v_2 > 0\).
1. Явная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j-1,k}^{n}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n}}{h_y} = f_{jk}^{n}.\) | |
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x, h_y).\)
Условно устойчива \(\displaystyle v_1 \frac{\Delta t}{h_x} + v_2 \frac{\Delta t}{h_y} \le 1.\)
Решается с помощью рекуррентного соотношения (8.7).
2. Схема расщепления
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} = f_{jk}^{n}; \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = 0.\) | |
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x, h_y).\)
Абсолютно устойчива.
Решается с помощью рекуррентных соотношений (8.13).
3. Схема переменных направлений
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &\frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n}}{h_y} = 0; \\ &\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n+1/2}. \end{aligned}\) | |
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x, h_y).\)
Абсолютно устойчива.
Решается с помощью рекуррентных соотношений (8.15).
4. Схема предиктор-корректор
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &\frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x} = 0; \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y} = 0; \\ &\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y} = f_{jk}^{n+1/2}. \end{aligned}\) | |
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x, h_y).\)
Абсолютно устойчива.
Решается с помощью рекуррентных соотношений (8.17).
Напомним, что в случае \(\displaystyle v_1 < 0\) для аппроксимации производной
по координате x следует использовать правую конечную разность и для реализации расчётного
алгоритма задать правое граничное условие по x; в случае \(\displaystyle v_2 < 0\) для аппроксимации производной
по координате y следует использовать правую конечную разность и для реализации расчётного
алгоритма задать правое граничное условие по y. Поэтому в случае \(\displaystyle v_1 < 0\)
и(или) \(\displaystyle v_2 < 0\) вид рекуррентных
соотношений изменится и для их расчёта потребуется задать циклы в расчётных алгоритмах следующим образом:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &\text{по } x \text{ - } \quad j = N_x - 1, \ldots, 1; \\ &\text{по } y \text{ - } \quad k = N_y - 1, \ldots, 1. \end{aligned}\) | |
Порядок аппроксимации и устойчивость перечисленных разностных схем при этом останутся таким же.
|