|
2.6. Метод решения с использованием схемы предиктор-корректор.
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (8.8)
в схему предиктор-корректор:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &\frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x} = 0; \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y} = 0; \\ &\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + v_2 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y} = f_{jk}^{n+1/2}. \end{aligned}\) | (8.16) |
Первые две подсхемы в схеме предиктор-корректор (8.16) составляют предиктор.
Первая подсхема в составе предиктора аппроксимируется на шаге по времени (n + 1/4) и является неявной
по координате x. Вторая подсхема - аппроксимируется на шаге по времени (n + 1/2) и является неявной по
координате y. Обе подсхемы абсолютно устойчивы.
Третья подсхема в схеме предиктор-корректор (8.16) является корректором. Поскольку корректор
аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\), разностный оператор, аппроксимирующий производную функции u
по времени, является центральной конечной разностью которая, как известно, имеет второй
порядок аппроксимации. Таким образом, схема предиктор-корректор (8.16), имея порядок аппроксимации
| |
\(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x, h_y),\) | |
является более точной по сравнению со схемой расщепления (8.12).
Каждая из подсхем в схеме предиктор-корректор (8.16) решается с помощью
соответствующего рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &u_{j,k}^{n+1/4} = \frac{u_{j,k}^{n} + v_1 \frac{\Delta t}{2 h_x} u_{j-1,k}^{n+1/4}}{1 + v_1 \frac{\Delta t}{2 h_x}}; \qquad u_{j,k}^{n+1/2} = \frac{u_{j,k}^{n+1/4} + v_2 \frac{\Delta t}{2 h_y} u_{j,k-1}^{n+1/2}}{1 + v_2 \frac{\Delta t}{2 h_y}}; \\ &u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} - v_1 \frac{\Delta t}{h_x} (u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}) - v_2 \frac{\Delta t}{h_y} (u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k-1}^{n+1/2}) + \Delta t\, f_{jk}^{n+1/2}. \end{aligned}\) | (8.17) |
|