|
2.5. Метод решения с использованием схемы переменных направлений.
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (8.8)
в схему переменных направлений:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} &\frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n}}{h_y} = 0; \\ &\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} + \frac{v_1}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} = f_{jk}^{n+1/2}. \end{aligned}\) | (8.14) |
Первая подсхема в схеме переменных направлений (8.14) аппроксимируется на первом полушаге интервала δt
и является неявной по координате x и явной по координате y. Вторая подсхема аппроксимируется на
втором полушаге интервала δt и является неявной по координате y и явной по координате x. Складывая
обе подсхемы, получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v_1 \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x} + \frac{v_2}{2} \left( \frac{u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n}}{h_y} + \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y} \right) = f_{jk}^{n+1/2}.\) | |
Видно, что данное соотношение аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\).
Следовательно, разностный оператор, аппроксимирующий производную функции u по времени, является
центральной конечной разностью, которая, как известно, имеет второй порядок аппроксимации. Таким образом,
схема переменных направлений (8.14), имея порядок аппроксимации
| |
\(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x, h_y),\) | |
является более точной по сравнению со схемой расщепления (8.12).
Каждая из подсхем схемы переменных направлений (8.14) является абсолютно
устойчивой и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \frac{u_{j,k}^{n} + v_1 \frac{\Delta t}{2 h_x} u_{j-1,k}^{n+1/2} - v_2 \frac{\Delta t}{2 h_y} (u_{j,k}^{n} - u_{j,k-1}^{n})}{1 + v_1 \frac{\Delta t}{2 h_x}}; \qquad u_{j,k}^{n+1} = \frac{u_{j,k}^{n+1/2} + v_2 \frac{\Delta t}{2 h_y} u_{j,k-1}^{n+1} - v_1 \frac{\Delta t}{2 h_x} (u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j-1,k}^{n+1/2}) + \Delta t\, f_{jk}^{n+1/2}}{1 + v_2 \frac{\Delta t}{2 h_y}}.\) | (8.15) |
Алгоритм решения схемы переменных направлений (8.14) аналогичен алгоритму решения схемы расщепления (8.12).
|