|
2.2. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (8.8), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (8.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f_{j,k}^{n}\),
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем
решение в виде гармоники:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n} = \lambda^n e^{i\alpha j} e^{i\beta k}, \qquad \alpha \in [0, 2\pi], \quad \beta \in [0, 2\pi];\)
\(\displaystyle \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} - \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}}{\Delta t} + v_1 \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha (j-1)} e^{i\beta k}}{h_x} + v_2 \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta (k-1)}}{h_y} = 0.\)
|
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v_1 \frac{\lambda - \lambda e^{-i\alpha}}{h_x} + v_2 \frac{\lambda - \lambda e^{-i\beta}}{h_y} = 0.\) |
|
Группируя члены, содержащие λ, в левой части уравнения, выразим величину, обратную λ:
| |
\(\displaystyle \lambda \left( 1 + v_1 \frac{\Delta t}{h_x} + v_2 \frac{\Delta t}{h_y} - v_1 \frac{\Delta t}{h_x} e^{-i\alpha} - v_2 \frac{\Delta t}{h_y} e^{-i\beta} \right) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\lambda} = 1 + v_1 \frac{\Delta t}{h_x} + v_2 \frac{\Delta t}{h_y} - v_1 \frac{\Delta t}{h_x} e^{-i\alpha} - v_2 \frac{\Delta t}{h_y} e^{-i\beta}.\) |
|
Напомним, что если величины, обратные собственным числам оператора перехода, имеют комплексный вид,
то согласно необходимому условию устойчивости разностных схем (3.8), записанному в виде (5.7),
требуется, чтобы они были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого
находится в начале координат комплексной плоскости.
Введём следующие обозначения:
| |
\(\displaystyle r_1 = v_1 \frac{\Delta t}{h_x} > 0, \quad r_2 = v_2 \frac{\Delta t}{h_y} > 0, \quad r_1 + r_2 = r \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\lambda} = 1 + r - r_1 e^{-i\alpha} - r_2 e^{-i\beta}.\) |
|
Данное выражение трудно анализировать, поскольку оно содержит две переменные
величины - α и β.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда α = β:
| |
\(\displaystyle \frac{1}{\lambda} = 1 + r - r e^{-i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода,
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + r; 0) и радиусом r.
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении
r (см. рисунок). Таким образом, в случае α = β неявная разностная схема (8.8) устойчива. Можно
доказать, что устойчивость разностной схемы (8.8) сохранится и в случае \(\displaystyle \alpha \ne \beta\) (в силу сложности
это доказательство не рассматривается); следовательно, неявная разностная схема (8.8) является
абсолютно устойчивой.
Проведя исследование устойчивости неявных разностных схем (8.9)-(8.11)
по аналогичной методике, можно доказать, что каждая из них также является абсолютно устойчивой.
|
