🎨
Цвет акцента
Синий
Фиолетовый
Пурпурный
Главная
Блок-схемы
Тренажёры
Программа
Тренажёры · Глава 10

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Задания для самоконтроля

     1. Определите правильную методику выбора метода численного решения дифференциального уравнения:

  \(\displaystyle 3\frac{du}{dx} + 4\frac{d^2 u}{dx^2} - 5u + 6x = 0.\)

Записываем разностную схему:
\(\displaystyle 3\frac{u_j - u_{j-1}}{h} + 4\frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} - 5u_j + 6h(j-1) = 0.\)
Приводим к виду, удобному для использования метода прогонки:
\(\displaystyle \frac{4}{h^2}u_{j+1} + \left(\frac{3}{h} - \frac{8}{h^2} - 5\right)u_j + \left(\frac{4}{h^2} - \frac{3}{h}\right)u_{j-1} = -6h(j-1).\)
Проверяем сходимость прогонки:
\(\displaystyle |a_j| + |c_j| = \frac{8}{h^2} - \frac{3}{h}, \qquad |b_j| = \frac{8}{h^2} - \frac{3}{h} + 5.\)
Метод прогонки сходится. Используем его для решения.
Записываем разностную схему:
\(\displaystyle 3\frac{u_j - u_{j-1}}{h} + 4\frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} - 5u_j + 6h(j-1) = 0.\)
Приводим к виду, удобному для использования метода прогонки:
\(\displaystyle \frac{4}{h^2}u_{j+1} + \left(\frac{3}{h} - \frac{8}{h^2} - 5\right)u_j + \left(\frac{4}{h^2} - \frac{3}{h}\right)u_{j-1} = -6h(j-1).\)
Проверяем сходимость прогонки:
\(\displaystyle |a_j| + |c_j| = \frac{8}{h^2} - \frac{3}{h}, \qquad |b_j| = \frac{3}{h} - \frac{8}{h^2} - 5.\)
О сходимости метода прогонки судить нельзя. Используем метод установления.
Записываем разностную схему:
\(\displaystyle -3\frac{u_{j+1}-u_j}{h}=4\frac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{h^2}-5u_j+6h(j-1).\)
Приводим к виду, удобному для использования метода прогонки:
\(\displaystyle -\left(\frac{3}{h}+\frac{4}{h^2}\right)u_{j+1}+\left(\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2}+5\right)u_j-\frac{4}{h^2}u_{j-1}=6h(j-1).\)
Проверяем сходимость прогонки:
\(\displaystyle \left|a_j\right|+\left|c_j\right|=\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2},\qquad \left|b_j\right|=\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2}+5.\)
Метод прогонки сходится. Используем его для решения.
Записываем разностную схему:
\(\displaystyle -3\frac{u_{j+1}-u_j}{h}=4\frac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{h^2}-5u_j+6h(j-1).\)
Приводим к виду, удобному для использования метода прогонки:
\(\displaystyle -\left(\frac{3}{h}+\frac{4}{h^2}\right)u_{j+1}+\left(\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2}\right)u_j-\frac{4}{h^2}u_{j-1}=-5u_j+6h(j-1).\)
Проверяем сходимость прогонки:
\(\displaystyle \left|a_j\right|+\left|c_j\right|=\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2},\qquad \left|b_j\right|=\frac{3}{h}+\frac{8}{h^2}.\)
Метод прогонки не сходится. Используем метод установления.

Задание 1 из 10Задание 2 →