Раздел 15. Привести уравнения математической модели процесса к безразмерному виду. Определить неизвестные характерные параметры процесса. Обосновать целесообразность обезразмеривания

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}-k\,c.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны характерные концентрация $c_0$, время $t_0$ и размер $x_0$. Неизвестны $D_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные:

$$c'=\frac{c}{c_0},\quad t'=\frac{t}{t_0},\quad x'=\frac{x}{x_0},\quad D'=\frac{D}{D_0},\quad k'=\frac{k}{k_0}.$$

Откуда $c=c'c_0,\ t=t't_0,\ x=x'x_0,\ D=D'D_0,\ k=k'k_0$.

Шаг 3. Подстановка и вынос масштабов за знаки производных:

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}=\frac{D_0 c_0}{x_0^{2}}D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k_0 c_0\,k'c'.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-\left[k_0 t_0\right]k'c'.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_0=\frac{x_0^{2}}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^2}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0}}\ \left[\tfrac{1}{\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение (по форме совпадает с исходным):

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k'c'.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}-k\,c^{2}.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0$; неизвестны $D_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ D'=\dfrac{D}{D_0},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка (отличие — в реакционном члене $kc^2\to k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}$):

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}=\frac{D_0 c_0}{x_0^{2}}D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-\left[k_0 t_0 c_0\right]k'c'^{2}.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_0=\frac{x_0^{2}}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^2}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0 c_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0 c_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^3}{\text{моль}\cdot\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k'c'^{2}.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=-k\,c.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0$; неизвестны $v_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ v'=\dfrac{v}{v_0},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка:

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-k_0 c_0\,k'c'.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-\left[k_0 t_0\right]k'c'.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0}}\ \left[\tfrac{1}{\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-k'c'.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=-k\,c^{2}.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0$; неизвестны $v_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ v'=\dfrac{v}{v_0},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка:

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-\left[k_0 t_0 c_0\right]k'c'^{2}.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0 c_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0 c_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^3}{\text{моль}\cdot\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=-k'c'^{2}.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение (трубчатый реактор):

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=D\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}-k\,c.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0$; неизвестны $v_0,\ D_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ v'=\dfrac{v}{v_0},\ D'=\dfrac{D}{D_0},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка:

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\frac{D_0 c_0}{x_0^{2}}D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k_0 c_0\,k'c'.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-\left[k_0 t_0\right]k'c'.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}}{\text{с}}\right],$$$$\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_0=\frac{x_0^{2}}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^2}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0}}\ \left[\tfrac{1}{\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k'c'.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=D\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}-k\,c^{2}.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0$; неизвестны $v_0,\ D_0,\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ v'=\dfrac{v}{v_0},\ D'=\dfrac{D}{D_0},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка (реакционный член $kc^2\to k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}$):

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\frac{D_0 c_0}{x_0^{2}}D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-\left[k_0 t_0 c_0\right]k'c'^{2}.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}}{\text{с}}\right],$$$$\left[\frac{D_0 t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_0=\frac{x_0^{2}}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^2}{\text{с}}\right],\qquad \left[k_0 t_0 c_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0 c_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}^3}{\text{моль}\cdot\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}-k'c'^{2}.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходная система (реактор идеального смешения):

$$\frac{dc}{dt}=-\int_{0}^{R}\rho_2^{0}\,f\,\eta\,dr,\qquad \frac{\partial f}{\partial t}+\eta\frac{\partial f}{\partial r}=0.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны характерные время $t_0$, концентрация $c_0$ и размер кристалла $r_0$; плотность и концентрация одной размерности, поэтому $\rho_0=c_0$. Неизвестны $\eta_0,\ f_0$ (их нельзя измерить напрямую). Масштабы общие для всей системы.

Шаг 2. Безразмерные переменные:

$$c'=\frac{c}{c_0},\ t'=\frac{t}{t_0},\ r'=\frac{r}{r_0},\ \eta'=\frac{\eta}{\eta_0},\ f'=\frac{f}{f_0},\ \rho_2'^{0}=\frac{\rho_2^{0}}{c_0}.$$

Шаг 3. Подстановка в обе уравнения (в интеграле $dr=r_0\,dr'$):

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{dc'}{dt'}=-c_0 f_0 \eta_0 r_0\int_{0}^{R}\rho_2'^{0}f'\eta'\,dr',\qquad \frac{f_0}{t_0}\frac{\partial f'}{\partial t'}+\frac{f_0\eta_0}{r_0}\eta'\frac{\partial f'}{\partial r'}=0.$$

Шаг 4. Делим: первое — на $c_0/t_0$, второе — на $f_0/t_0$:

$$\frac{dc'}{dt'}=-\left[t_0 f_0 \eta_0 r_0\right]\int_{0}^{R}\rho_2'^{0}f'\eta'\,dr',\qquad \frac{\partial f'}{\partial t'}+\left[\frac{t_0\eta_0}{r_0}\right]\eta'\frac{\partial f'}{\partial r'}=0.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице. Из второго уравнения:

$$\left[\frac{t_0\eta_0}{r_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{\eta_0=\frac{r_0}{t_0}}\ \left[\tfrac{\text{м}}{\text{с}}\right].$$

Из первого уравнения, подставляя $\eta_0=r_0/t_0$:

$$\left[t_0 f_0 \eta_0 r_0\right]=1\ \Rightarrow\ f_0=\frac{1}{t_0\eta_0 r_0}=\frac{1}{t_0\cdot\frac{r_0}{t_0}\cdot r_0}\ \Rightarrow\ \boxed{f_0=\frac{1}{r_0^{2}}}.$$

Шаг 6. Итоговая безразмерная система (совпадает по форме с исходной):

$$\frac{dc'}{dt'}=-\int_{0}^{R}\rho_2'^{0}f'\eta'\,dr',\qquad \frac{\partial f'}{\partial t'}+\eta'\frac{\partial f'}{\partial r'}=0.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение (диффузия по длине $x$ и по радиусу $r$):

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D_L\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}+D_R\frac{\partial^{2}c}{\partial r^{2}}+\frac{D_R}{r}\frac{\partial c}{\partial r}-k\,c.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0$, осевой $x_0$ и радиальный $r_0$ размеры; неизвестны $D_{L_0},\ D_{R_0},\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c'=\dfrac{c}{c_0},\ t'=\dfrac{t}{t_0},\ x'=\dfrac{x}{x_0},\ r'=\dfrac{r}{r_0},\ D_L'=\dfrac{D_L}{D_{L_0}},\ D_R'=\dfrac{D_R}{D_{R_0}},\ k'=\dfrac{k}{k_0}$.

Шаг 3. Подстановка (член $\frac{D_R}{r}\frac{\partial c}{\partial r}\to\frac{D_{R_0}c_0}{r_0^{2}}\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}$ — тот же масштаб $D_{R_0}c_0/r_0^{2}$, что и у второй производной по $r$):

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}=\frac{D_{L_0}c_0}{x_0^{2}}D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\frac{D_{R_0}c_0}{r_0^{2}}\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-k_0 c_0\,k'c'.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=\left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-\left[k_0 t_0\right]k'c'.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{L_0}=\frac{x_0^{2}}{t_0}},\qquad \left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{R_0}=\frac{r_0^{2}}{t_0}},$$$$\left[k_0 t_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0}}\ \left[\tfrac{1}{\text{с}}\right].$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}=D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}-k'c'.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=D_L\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}+D_R\frac{\partial^{2}c}{\partial r^{2}}+\frac{D_R}{r}\frac{\partial c}{\partial r}-k\,c.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0,\ r_0$; неизвестны $v_0,\ D_{L_0},\ D_{R_0},\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: те же, плюс $v'=\dfrac{v}{v_0}$.

Шаг 3. Подстановка:

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\frac{D_{L_0}c_0}{x_0^{2}}D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\frac{D_{R_0}c_0}{r_0^{2}}\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-k_0 c_0\,k'c'.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-\left[k_0 t_0\right]k'c'.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}},\qquad \left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{L_0}=\frac{x_0^{2}}{t_0}},$$$$\left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{R_0}=\frac{r_0^{2}}{t_0}},\qquad \left[k_0 t_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0}}.$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}-k'c'.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.

Метод (см. разбор вопроса 24, семинар 1): вводим масштабы (характерные параметры с индексом 0), безразмерные переменные как отношение величины к её масштабу, подставляем в уравнение, делим на коэффициент при производной по времени ($C_0/t_0$), приравниваем безразмерные комплексы к единице и выражаем неизвестные масштабы.

Исходное уравнение:

$$\frac{\partial c}{\partial t}+v\frac{\partial c}{\partial x}=D_L\frac{\partial^{2}c}{\partial x^{2}}+D_R\frac{\partial^{2}c}{\partial r^{2}}+\frac{D_R}{r}\frac{\partial c}{\partial r}-k\,c^{2}.$$

Шаг 1. Масштабы. Известны $c_0,\ t_0,\ x_0,\ r_0$; неизвестны $v_0,\ D_{L_0},\ D_{R_0},\ k_0$.

Шаг 2. Безразмерные переменные: $c',t',x',r',v',D_L',D_R',k'$ — отношения к масштабам.

Шаг 3. Подстановка (реакционный член $kc^2\to k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}$):

$$\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+\frac{v_0 c_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\frac{D_{L_0}c_0}{x_0^{2}}D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\frac{D_{R_0}c_0}{r_0^{2}}\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-k_0 c_0^{2}\,k'c'^{2}.$$

Шаг 4. Делим на $\dfrac{c_0}{t_0}$:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=\left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+\left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]\left(D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}\right)-\left[k_0 t_0 c_0\right]k'c'^{2}.$$

Шаг 5. Приравниваем комплексы к единице:

$$\left[\frac{v_0 t_0}{x_0}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{v_0=\frac{x_0}{t_0}},\qquad \left[\frac{D_{L_0}t_0}{x_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{L_0}=\frac{x_0^{2}}{t_0}},$$$$\left[\frac{D_{R_0}t_0}{r_0^{2}}\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{D_{R_0}=\frac{r_0^{2}}{t_0}},\qquad \left[k_0 t_0 c_0\right]=1\ \Rightarrow\ \boxed{k_0=\frac{1}{t_0 c_0}}.$$

Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение:

$$\frac{\partial c'}{\partial t'}+v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_L'\frac{\partial^{2}c'}{\partial x'^{2}}+D_R'\frac{\partial^{2}c'}{\partial r'^{2}}+\frac{D_R'}{r'}\frac{\partial c'}{\partial r'}-k'c'^{2}.$$

Обоснование целесообразности обезразмеривания

Значения, получаемые численными методами, отличаются от истинных из-за ошибки аппроксимации. Если переменные модели различаются по порядкам, погрешности при определении величин больших порядков, не значимые для них самих, сильно искажают величины меньших порядков (в модели кристаллизации, например, $f\sim10^{20}$, $\eta\sim10^{-10}$). После приведения к безразмерному виду все переменные имеют одинаковый порядок, и численный алгоритм работает корректно.