Раздел 9. **9.** Записать для уравнения схему переменных направлений. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Для тех подсхем, которые решаются методом прогонки: привести к виду, удобному для использования метода прогонки; проверить сходимость прогонки; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Указать порядок аппроксимации схемы

$$\frac{\partial u}{\partial t}=0.3\Big(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Big)+1.$$

$\sigma_x=\sigma_y=0.3$, конвекции нет ($C_x=C_y=0$), $f=1$. Оба оператора расщепляются $\Rightarrow$ коэффициент $\tfrac{\sigma}{2}=0.15$.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\quad\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=0.15\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+0.15\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}$$

$$\text{②}\quad\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=0.15\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+0.15\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}+1$$

Прогоночный вид и рекуррентные соотношения

① $a_ju_{j-1,k}^{n+1/2}+b_ju_{j,k}^{n+1/2}+c_ju_{j+1,k}^{n+1/2}=\xi_{j,k}$:

$$a_j=c_j=-\frac{0.15\,\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+\frac{0.3\,\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+0.15\,\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② $\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{0.15\,\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{0.3\,\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+0.15\,\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t.$

Сходимость прогонки

$|a_j|+|c_j|=\dfrac{0.3\Delta t}{h_x^2}<1+\dfrac{0.3\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$; для ② аналогично. Выполнено безусловно.

$\alpha_1,\beta_1$ и решение на правой границе

① по $x$ (ГУ 1-го рода). $u_{1,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}\Rightarrow\alpha_1=0,\ \beta_1=t^{n+1/2}$. Правая граница: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}+y_k$.

② по $y$ (ГУ 2-го рода $u_y=x$). Слева $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=x_j\Rightarrow u_{j,1}^{n+1}=u_{j,2}^{n+1}-h_yx_j$, т.е. $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=-h_yx_j$. Справа из $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=x_j$ и $u_{j,N_y-1}^{n+1}=\hat\alpha_{N_y-1}u_{j,N_y}^{n+1}+\hat\beta_{N_y-1}$:

$$u_{j,N_y}^{n+1}=\frac{h_yx_j+\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=x_jy_k$.
2. ① для каждого $k$: прогонка по $x$ (границы 1-го рода) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② для каждого $j$: прогонка по $y$ (границы 2-го рода) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-t\frac{\partial u}{\partial x}+2t\frac{\partial u}{\partial y}=4\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+t.$$

Приводим к виду $u_t=4u_{xx}+5u_{yy}+t\,u_x-2t\,u_y+t$: $\sigma_x=4,\sigma_y=5,\ C_x=+t,\ C_y=-2t,\ f=t$. Оба оператора расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$). Конвекцию $u_x$ относим к подсхеме ① (неявной по $x$), $u_y$ — к подсхеме ② (неявной по $y$).

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\tfrac{5}{2}\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=2\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac{5}{2}\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}-2t^{n+1/2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}+t^{n+1/2}$$

(конвекция по $x$ берётся неявно на $n+1/2$ в ①; по $y$ — неявно на $n+1$ в ②.)

Прогоночные коэффициенты

① ($C_x=t^{n+1/2}>0$). Диффузия даёт $-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}$, конвекция — добавки $\mp C_x\dfrac{\Delta t}{2h_x}$:

$$a_j=-\frac{2\Delta t}{h_x^2}+t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad c_j=-\frac{2\Delta t}{h_x^2}-t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+\frac{4\Delta t}{h_x^2},$$$$\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+\tfrac{5}{2}\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($C_y=-2t^{n+1/2}<0$). При $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{5\Delta t}{2h_y^2}-C_y\dfrac{\Delta t}{2h_y}$, при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{5\Delta t}{2h_y^2}+C_y\dfrac{\Delta t}{2h_y}$. С $C_y=-2t^{n+1/2}$:

$$\tilde c_k=-\frac{5\Delta t}{2h_y^2}+t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{5\Delta t}{2h_y^2}-t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde b_k=1+\frac{5\Delta t}{h_y^2},$$$$\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+2\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,t^{n+1/2}.$$

Сходимость

При $|C_x|h_x\le 2\sigma_x$ (т.е. $t\,h_x\le8$) знаки $a_j,c_j$ отрицательны и $|a_j|+|c_j|=\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$. Аналогично для ②: $|C_y|h_y\le2\sigma_y$, т.е. $2t\,h_y\le10$. На практике сетка мелкая — условие выполнено.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$. Слева ГУ 2-го рода $u_x(0)=2t$: $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=2t^{n+1/2}\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=u_{2,k}^{n+1/2}-2t^{n+1/2}h_x$, т.е. $\alpha_1=1,\ \beta_1=-2t^{n+1/2}h_x$. Справа ГУ 1-го рода: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=2t^{n+1/2}(1+y_k)$.

② по $y$. Слева ГУ 2-го рода $u_y(0)=2t$: $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=-2t^{n+1/2}h_y$. Справа ГУ 1-го рода: $u_{j,N_y}^{n+1}=2t^{n+1}(1+x_j)$.

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=0$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 2-й род $\to\alpha_1,\beta_1$; справа 1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 2-й род; справа 1-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-5\frac{\partial u}{\partial y}=6\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+7\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-tu^2.$$

$u_t=6u_{xx}+7u_{yy}+5u_y-tu^2$: $\sigma_x=6,\sigma_y=7,\ C_x=0,\ C_y=+5$, нелинейный сток $-tu^2$. Оба оператора расщепляются. Нелинейный член линеаризуем как $-t^{n+1/2}u_{j,k}^{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1}$ (или $-t^{n+1/2}(u_{j,k}^{n+1/2})^2$) во второй подсхеме.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=3\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac{7}{2}\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+5\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=3\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac{7}{2}\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}+5\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-t^{n+1/2}\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^2$$

Конвекция по $y$ ($C_y=+5$) относится к неявной по $y$ подсхеме ②; в ① её удобно взять явно на $n$ (показано), так как ① неявна только по $x$.

Прогоночные коэффициенты

① (только диффузия по $x$): $a_j=c_j=-\dfrac{3\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+\dfrac{6\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+\tfrac{7}{2}\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+5\Delta t\dfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($C_y=+5$): при $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{7\Delta t}{2h_y^2}-5\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{7\Delta t}{2h_y^2}+5\dfrac{\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=-\frac{7\Delta t}{2h_y^2}-\frac{5\Delta t}{2h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{7\Delta t}{2h_y^2}+\frac{5\Delta t}{2h_y},\quad \tilde b_k=1+\frac{7\Delta t}{h_y^2},$$$$\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+3\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\Delta t\,t^{n+1/2}\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^2.$$

Сходимость

① безусловно. ② при $5h_y\le2\cdot7=14$ ($h_y\le2.8$) — выполнено: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{7\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ (ГУ 1-го рода): $u_{1,k}^{n+1/2}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=0$; правая граница $u_{N_x,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}y_k$.

② по $y$: слева ГУ 3-го рода $u_y(0)=2t\,u(0)$: $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=2t^{n+1}u_{j,1}^{n+1}\Rightarrow u_{j,1}^{n+1}=\dfrac{u_{j,2}^{n+1}}{1+2t^{n+1}h_y}$, т.е. $\hat\alpha_1=\dfrac{1}{1+2t^{n+1}h_y},\ \hat\beta_1=0$. Справа ГУ 2-го рода $u_y(1)=tx$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{h_y\,t^{n+1}x_j+\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 3-й род $\to\hat\alpha_1,\hat\beta_1$; справа 2-й род), нелинейность взята с $n+1/2$ $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=3\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+6\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-9t^2.$$

$u_t=3u_{xx}+6u_{yy}-u_x-3u_y-9t^2$: $\sigma_x=3,\sigma_y=6,\ C_x=-1,\ C_y=-3,\ f=-9t^2$.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{3}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}-\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+3\,\Lambda_{yy}\!\cdot\!\tfrac12\,u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\tfrac{3}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+3\,\Lambda_{yy}u^{n+1}-3\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-9(t^{n+1/2})^2$$

(в ② коэффициент при $\Lambda_{yy}$ — это $\tfrac{\sigma_y}{2}=3$.)

Прогоночные коэффициенты

① ($C_x=-1$): при $u_{j+1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}-C_x\dfrac{\Delta t}{2h_x}=-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}+\dfrac{\Delta t}{2h_x}$; при $u_{j-1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}-\dfrac{\Delta t}{2h_x}$:

$$c_j=-\frac{3\Delta t}{2h_x^2}+\frac{\Delta t}{2h_x},\quad a_j=-\frac{3\Delta t}{2h_x^2}-\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+\frac{3\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+3\Delta t\,\tfrac12\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($C_y=-3$): $\tilde c_k=-\dfrac{3\Delta t}{h_y^2}+\dfrac{3\Delta t}{2h_y}$, $\tilde a_k=-\dfrac{3\Delta t}{h_y^2}-\dfrac{3\Delta t}{2h_y}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{6\Delta t}{h_y^2}$ (здесь $\tfrac{\sigma_y}{2}=3$, $-\tfrac{\sigma_y}{2}\tfrac{\Delta t}{h_y^2}=-\tfrac{3\Delta t}{h_y^2}$), $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac32\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-9\Delta t(t^{n+1/2})^2.$

Сходимость

① при $|C_x|h_x\le\sigma_x$ ($h_x\le3$): $|a_j|+|c_j|=\dfrac{3\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$. ② при $|C_y|h_y\le\sigma_y$ ($3h_y\le6$, $h_y\le2$). Выполнено на разумной сетке.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ — оба ГУ 2-го рода. Слева $u_x(0)=t$: $\alpha_1=1,\ \beta_1=-t^{n+1/2}h_x$. Справа $u_x(1)=1+t$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{h_x(1+t^{n+1/2})+\beta_{N_x-1}}{1-\alpha_{N_x-1}}.$

② по $y$ — оба ГУ 2-го рода. Слева $u_y(0)=t$: $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=-t^{n+1}h_y$. Справа $u_y(1)=1+t$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{h_y(1+t^{n+1})+\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (оба 2-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (оба 2-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=y\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+x\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-tu.$$

$u_t=y\,u_{xx}+x\,u_{yy}-t\,u_x-t\,u$: переменные коэффициенты $\sigma_x=y_k,\ \sigma_y=x_j$ (берутся в узле), $C_x=-t,\ C_y=0$, реакция $-t$. Оба оператора присутствуют — расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$). Реакцию $-t\,u$ берём неявно во ② на $u^{n+1}$ либо на $u^{n+1/2}$.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\frac{y_k}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}-t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\frac{x_j}{2}\Lambda_{yy}u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\frac{y_k}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+\frac{x_j}{2}\Lambda_{yy}u^{n+1}-t^{n+1/2}u_{j,k}^{n+1/2}$$

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=y_k$, $C_x=-t^{n+1/2}$):

$$c_j=-\frac{y_k\Delta t}{2h_x^2}+t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad a_j=-\frac{y_k\Delta t}{2h_x^2}-t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+\frac{y_k\Delta t}{h_x^2},$$$$\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+\frac{x_j}{2}\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($\sigma_y=x_j$, $C_y=0$): $\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{x_j\Delta t}{2h_y^2}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{x_j\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\dfrac{y_k}{2}\Delta t\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\Delta t\,t^{n+1/2}u_{j,k}^{n+1/2}.$

Сходимость

① при $|C_x|h_x\le\sigma_x$, т.е. $t\,h_x\le y_k$ (во внутренних узлах $y_k>0$); ② безусловно ($x_j>0$). На мелкой сетке выполнено.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: слева ГУ 1-го рода $u(0)=0$: $\alpha_1=0,\ \beta_1=0$. Справа ГУ 3-го рода $u_x(1)=5u(1)-3t$: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=5u_{N_x,k}^{n+1/2}-3t^{n+1/2}$ с $u_{N_x-1,k}^{n+1/2}=\alpha_{N_x-1}u_{N_x,k}^{n+1/2}+\beta_{N_x-1}$:

$$u_{N_x,k}^{n+1/2}=\frac{\beta_{N_x-1}+3t^{n+1/2}h_x}{1-\alpha_{N_x-1}+5h_x}.$$

② по $y$ — оба ГУ 1-го рода: $u_{j,1}^{n+1}=0\Rightarrow\hat\alpha_1=0,\hat\beta_1=0$; $u_{j,N_y}^{n+1}=t^{n+1}x_j$.

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 1-й род; справа 3-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (оба 1-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=6\frac{\partial u}{\partial x}+7\frac{\partial u}{\partial y}+3\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-tu^3.$$

$\sigma_x=3,\ \boxed{\sigma_y=0}$ (нет $u_{yy}$!), $C_x=+6,\ C_y=+7$, нелинейный сток $-tu^3$. Так как по $y$ нет диффузии, направление $y$ присутствует в схеме только через конвекцию $7u_y$, которую относим к неявной по $y$ подсхеме ②. Оператор $\Lambda_{xx}$ есть только по $x$ — он не расщепляется, но в СПН вторая производная по $x$ участвует в обеих подсхемах (① неявно, ② явно на $n+1/2$), поэтому коэффициент $\tfrac{\sigma_x}{2}=1.5$ сохраняется.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{3}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+6\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\tfrac{3}{2}\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+6\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+7\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-t^{n+1/2}\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^3$$

Конвекция по $x$ ($C_x=+6$) входит в неявную по $x$ подсхему ①; по $y$ ($C_y=+7$) — в неявную по $y$ подсхему ②.

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=3,\ C_x=+6$): при $u_{j+1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}-6\dfrac{\Delta t}{2h_x}$; при $u_{j-1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}+6\dfrac{\Delta t}{2h_x}$:

$$c_j=-\frac{3\Delta t}{2h_x^2}-\frac{3\Delta t}{h_x},\quad a_j=-\frac{3\Delta t}{2h_x^2}+\frac{3\Delta t}{h_x},\quad b_j=1+\frac{3\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (по $y$ — только конвекция $C_y=+7$, диффузии нет): при $u_{j,k+1}$: $-7\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $+7\dfrac{\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=-\frac{7\Delta t}{2h_y},\quad \tilde a_k=+\frac{7\Delta t}{2h_y},\quad \tilde b_k=1,\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac32\Delta t\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+6\Delta t\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}-\Delta t\,t^{n+1/2}\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^3.$$

Сходимость

① при $6h_x\le2\cdot3=6$ ($h_x\le1$) — $|a_j|+|c_j|=\dfrac{3\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$. ②: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{7\Delta t}{h_y}$, $|\tilde b_k|=1$ — диагональное преобладание не безусловно: требуется $\dfrac{7\Delta t}{h_y}\le1$. Это типично для чисто конвективной (без диффузии) центральной прогонки — она лишь условно устойчива по этому направлению.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ — оба ГУ 3-го рода $u_x=u+2t$. Слева: $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{1,k}^{n+1/2}+2t^{n+1/2}\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-2t^{n+1/2}h_x}{1+h_x}$, т.е. $\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_x},\ \beta_1=-\dfrac{2t^{n+1/2}h_x}{1+h_x}$. Справа: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{N_x,k}^{n+1/2}+2t^{n+1/2}$ с $u_{N_x-1,k}^{n+1/2}=\alpha_{N_x-1}u_{N_x,k}^{n+1/2}+\beta_{N_x-1}$:

$$u_{N_x,k}^{n+1/2}=\frac{\beta_{N_x-1}+2t^{n+1/2}h_x}{1-\alpha_{N_x-1}-h_x}.$$

② по $y$: справа ГУ 1-го рода $u(t,x,y{=}1)=tx$: $u_{j,N_y}^{n+1}=t^{n+1}x_j$. Слева ($y=0$) ГУ не задано — значение $u_{j,1}^{n+1}$ замыкается самой подсхемой ② (при $\tilde b=1$ требуется одно граничное значение; так как уравнение 1-го порядка по $y$, достаточно одного ГУ при $y=1$, прогонка идёт от $k=N_y$ к меньшим $k$, начальное $\hat\alpha,\hat\beta$ задаются из $u_{j,N_y}$). На практике для чисто конвективного $y$ используют односторонний счёт от границы $y=1$ против потока ($C_y>0$).

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$; по $y$ — порядок $h_y^2$ от центральной разности конвекции.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (оба 3-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② по $y$: чисто конвективная подсхема, счёт от границы $y=1$; нелинейность $-tu^3$ взята с $n+1/2$ $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial u}{\partial y}+2uy.$$

$\sigma_x=2,\ \boxed{\sigma_y=0}$, $C_x=0,\ C_y=+1$, реакция $+2y\,u$. По $y$ — только конвекция $u_y$ (в ②), реакцию $2yu$ берём неявно. $\Lambda_{xx}$ участвует в обеих подсхемах с $\tfrac{\sigma_x}{2}=1$.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}+2y_k u_{j,k}^{n+1}$$

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=2$): $a_j=c_j=-\dfrac{\Delta t}{h_x^2}$ (это $-\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}=-\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$), $b_j=1+\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}$.

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (по $y$ — конвекция $C_y=+1$ и реакция): при $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $+\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; реакция даёт $-2y_k\Delta t$ в диагональ:

$$\tilde c_k=-\frac{\Delta t}{2h_y},\quad \tilde a_k=+\frac{\Delta t}{2h_y},\quad \tilde b_k=1-2y_k\Delta t,\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость

① безусловно. ② $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{\Delta t}{h_y}$ против $|\tilde b_k|=|1-2y_k\Delta t|$ — условно (нужно $\Delta t/h_y\le|1-2y_k\Delta t|$); чисто конвективное направление.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: слева ГУ 3-го рода $u_x(0)=u(0)$: $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{1,k}^{n+1/2}\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}}{1+h_x}$, т.е. $\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_x},\ \beta_1=0$. Справа ГУ 2-го рода $u_x(1)=t$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{h_x t^{n+1/2}+\beta_{N_x-1}}{1-\alpha_{N_x-1}}.$

② по $y$: справа ГУ 1-го рода $u(t,x,1)=t+2x$: $u_{j,N_y}^{n+1}=t^{n+1}+2x_j$. Счёт по $y$ от границы $y=1$ (одно ГУ для уравнения 1-го порядка по $y$).

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=2x_j$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 3-й род; справа 2-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② по $y$ от границы $y=1$ $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=5t\frac{\partial u}{\partial x}+6t\frac{\partial u}{\partial y}+7\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+8\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-12tu.$$

$\sigma_x=7,\sigma_y=8,\ C_x=5t,\ C_y=6t$, реакция $-12t\,u$. Оба диффузионных оператора расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$). Реакцию относим во ②.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\tfrac72\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+5t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+4\Lambda_{yy}u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\tfrac72\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+4\Lambda_{yy}u^{n+1}+6t^{n+1/2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-12t^{n+1/2}u_{j,k}^{n+1}$$

($4=\tfrac{\sigma_y}{2}$.)

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=7,\ C_x=5t$): $c_j=-\dfrac{7\Delta t}{2h_x^2}-5t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $a_j=-\dfrac{7\Delta t}{2h_x^2}+5t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $b_j=1+\dfrac{7\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+4\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($\sigma_y=8,\ C_y=6t$, реакция $-12t$): $\tilde c_k=-\dfrac{4\Delta t}{h_y^2}-6t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$, $\tilde a_k=-\dfrac{4\Delta t}{h_y^2}+6t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{8\Delta t}{h_y^2}+12t^{n+1/2}\Delta t$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac72\Delta t\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}.$

Сходимость

① при $5t\,h_x\le2\cdot7$; ② при $6t\,h_y\le2\cdot8$ — выполнено на мелкой сетке; реакция $-12tu$ только усиливает диагональ ($\tilde b_k$ растёт).

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ — оба ГУ 1-го рода: $u_{1,k}^{n+1/2}=1\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=1$; $u_{N_x,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}y_k+1$.

② по $y$ — оба ГУ 3-го рода. Слева $u_y(0)=u(0)+5$: $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=u_{j,1}^{n+1}+5\Rightarrow u_{j,1}^{n+1}=\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-5h_y}{1+h_y}$, т.е. $\hat\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_y},\ \hat\beta_1=-\dfrac{5h_y}{1+h_y}$. Справа $u_y(1)=2u(1)-7$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{\hat\beta_{N_y-1}+7h_y}{1-\hat\alpha_{N_y-1}+2h_y}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=1$.
2. ① прогонка по $x$ (оба 1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (оба 3-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=y\frac{\partial u}{\partial x}-2t\frac{\partial u}{\partial y}+8\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-3x.$$

$\boxed{\sigma_x=0}$ (нет $u_{xx}$!), $\sigma_y=8$, $C_x=+y,\ C_y=-2t$, источник $-3x$. Ключевой момент знаков: поскольку по $x$ нет второй производной, оператор $\Lambda_{yy}$ не расщепляется между двумя подсхемами — он входит только в неявную по $y$ подсхему ② и берётся с полным $\sigma_y=8$ (НЕ $4$). По $x$ — лишь конвекция $y\,u_x$ (в ①).

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=y_k\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=8\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}-2t^{n+1/2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-3x_j$$

($\sigma_y=8$ — полный коэффициент, без множителя $\tfrac12$, т.к. $\Lambda_{yy}$ присутствует лишь в одной подсхеме. Источник $-3x$ — во ②.)

Прогоночные коэффициенты

① (по $x$ — только конвекция $C_x=+y_k$): $c_j=-y_k\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $a_j=+y_k\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $b_j=1$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}$.

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (по $y$: полная диффузия $\sigma_y=8$, конвекция $C_y=-2t$): при $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{8\Delta t}{h_y^2}-C_y\dfrac{\Delta t}{2h_y}=-\dfrac{8\Delta t}{h_y^2}+2t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{8\Delta t}{h_y^2}-2t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=-\frac{8\Delta t}{h_y^2}+t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{8\Delta t}{h_y^2}-t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde b_k=1+\frac{16\Delta t}{h_y^2},$$$$\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}-3\Delta t\,x_j.$$

Сходимость

① чисто конвективная: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{y_k\Delta t}{h_x}$, $b_j=1$ — условно ($y_k\Delta t/h_x\le1$). ② при $|C_y|h_y\le2\sigma_y$ ($2t\,h_y\le16$): $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{16\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ — выполнено.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: справа ГУ 1-го рода $u(t,1,y)=ty$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}y_k$. Уравнение 1-го порядка по $x$ — одно ГУ при $x=1$; счёт против потока ($C_x=y>0$) от правой границы.

② по $y$: слева ГУ 1-го рода $u(t,x,0)=0$: $\hat\alpha_1=0,\ \hat\beta_1=0$. Справа ГУ 3-го рода $u_y(1)=x\,u(1)-t^2$: $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=x_j u_{j,N_y}^{n+1}-(t^{n+1})^2$ с $u_{j,N_y-1}^{n+1}=\hat\alpha_{N_y-1}u_{j,N_y}^{n+1}+\hat\beta_{N_y-1}$:

$$u_{j,N_y}^{n+1}=\frac{\hat\beta_{N_y-1}-(t^{n+1})^2 h_y}{1-\hat\alpha_{N_y-1}-x_j h_y}.$$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① по $x$ от границы $x=1$ (1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 1-й род; справа 3-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=-2\frac{\partial u}{\partial y}+5\frac{\partial^2u}{\partial y^2}.$$

$u_t=-3u_x-2u_y+5u_{yy}$: $\boxed{\sigma_x=0}$, $\sigma_y=5$, $C_x=-3,\ C_y=-2$. $\Lambda_{yy}$ не расщепляется $\Rightarrow$ полный $\sigma_y=5$ в подсхеме ②.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=-3\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=5\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}-2\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}$$

Прогоночные коэффициенты

① (конвекция $C_x=-3$): при $u_{j+1}$: $-C_x\dfrac{\Delta t}{2h_x}=+3\dfrac{\Delta t}{2h_x}$; при $u_{j-1}$: $-3\dfrac{\Delta t}{2h_x}$:

$$c_j=+\frac{3\Delta t}{2h_x},\quad a_j=-\frac{3\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1,\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}.$$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (полная диффузия $\sigma_y=5$, $C_y=-2$): $\tilde c_k=-\dfrac{5\Delta t}{h_y^2}+2\dfrac{\Delta t}{2h_y}=-\dfrac{5\Delta t}{h_y^2}+\dfrac{\Delta t}{h_y}$, $\tilde a_k=-\dfrac{5\Delta t}{h_y^2}-\dfrac{\Delta t}{h_y}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{10\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}$.

Сходимость

① условно ($3\Delta t/h_x\le1$). ② при $2h_y\le2\cdot5=10$ ($h_y\le5$): $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{10\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ — выполнено.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: слева ГУ 1-го рода $u(t,0,y)=y^2$: при $C_x=-3<0$ поток направлен к $x=0$; уравнение 1-го порядка по $x$, одно ГУ при $x=0$ $\Rightarrow$ счёт от левой границы, $u_{1,k}^{n+1/2}=y_k^2$ ($\alpha_1=0,\beta_1=y_k^2$).

② по $y$ — оба ГУ 2-го рода: слева $u_y(0)=0$: $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=0$. Справа $u_y(1)=1$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{h_y+\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=y_k^2$.
2. ① по $x$ от границы $x=0$ (1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (оба 2-й род) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+18\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+txy.$$

$\sigma_x=3,\sigma_y=18,\ C_x=+2,\ C_y=0,\ f=txy$. Оба оператора расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$).

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\tfrac32\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+2\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+9\Lambda_{yy}u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\tfrac32\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+9\Lambda_{yy}u^{n+1}+t^{n+1/2}x_jy_k$$

($9=\tfrac{\sigma_y}{2}$.)

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=3,\ C_x=+2$): $c_j=-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}-2\dfrac{\Delta t}{2h_x}=-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}-\dfrac{\Delta t}{h_x}$, $a_j=-\dfrac{3\Delta t}{2h_x^2}+\dfrac{\Delta t}{h_x}$, $b_j=1+\dfrac{3\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+9\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($\sigma_y=18,\ C_y=0$): $\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{9\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{18\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac32\Delta t\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,t^{n+1/2}x_jy_k.$

Сходимость

① при $2h_x\le2\cdot3$ ($h_x\le3$); ② безусловно.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: слева ГУ 1-го рода $u(t,0,y)=t$: $\alpha_1=0,\ \beta_1=t^{n+1/2}$. Справа ГУ 2-го рода $u_x(1)=0$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N_x-1}}{1-\alpha_{N_x-1}}$ (т.к. $\dfrac{u_{N_x}-u_{N_x-1}}{h_x}=0$).

② по $y$: слева ГУ 3-го рода $u_y(0)=u(0)$: $\hat\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_y},\ \hat\beta_1=0$. Справа ГУ 2-го рода $u_y(1)=0$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 1-й; справа 2-й) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 3-й; справа 2-й) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-3\frac{\partial u}{\partial y}-2u^2.$$

$u_t=2u_{xx}-t\,u_x-3u_y-2u^2$: $\sigma_x=2,\ \boxed{\sigma_y=0}$, $C_x=-t,\ C_y=-3$, нелинейность $-2u^2$. По $y$ — только конвекция (в ②). $\Lambda_{xx}$ с $\tfrac{\sigma_x}{2}=1$ в обеих подсхемах.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u^{n+1/2}-t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u^{n+1/2}-3\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-2\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^2$$

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=2,\ C_x=-t$): $c_j=-\dfrac{\Delta t}{h_x^2}+t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $a_j=-\dfrac{\Delta t}{h_x^2}-t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $b_j=1+\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (по $y$ — конвекция $C_y=-3$): при $u_{j,k+1}$: $-C_y\dfrac{\Delta t}{2h_y}=+\dfrac{3\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=+\frac{3\Delta t}{2h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{3\Delta t}{2h_y},\quad \tilde b_k=1,\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-2\Delta t\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^2.$$

Сходимость

① при $t\,h_x\le2\sigma_x=4$. ② чисто конвективная: условно ($3\Delta t/h_y\le1$).

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ — оба ГУ. Слева 2-й род $u_x(0)=2y$: $\alpha_1=1,\ \beta_1=-2y_kh_x$. Справа 3-й род $u_x(1)=2y\,u(1)$: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=2y_k u_{N_x,k}^{n+1/2}\Rightarrow u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N_x-1}}{1-\alpha_{N_x-1}-2y_kh_x}.$

② по $y$: слева ГУ 1-го рода $u(t,x,0)=t+x$: $u_{j,1}^{n+1}=t^{n+1}+x_j$. $C_y=-3<0$ — счёт от границы $y=0$.

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=x_j+y_k^2$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 2-й; справа 3-й) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② по $y$ от границы $y=0$, нелинейность с $n+1/2$ $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=3\frac{\partial u}{\partial x}+4\frac{\partial u}{\partial y}+t\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+txy.$$

$\boxed{\sigma_x=0}$, $\sigma_y=t$ (переменный), $C_x=+3,\ C_y=+4,\ f=txy$. $\Lambda_{yy}$ присутствует только в подсхеме ② $\Rightarrow$ берётся с полным $\sigma_y=t$ (НЕ $t/2$). По $x$ — только конвекция $3u_x$ (в ①).

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=3\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=t^{n+1/2}\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}+4\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}+t^{n+1/2}x_jy_k$$

Прогоночные коэффициенты

① (конвекция $C_x=+3$): $c_j=-3\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $a_j=+3\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $b_j=1$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② (полная диффузия $\sigma_y=t^{n+1/2}$, конвекция $C_y=+4$): при $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}-4\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}+4\dfrac{\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=-\frac{t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}-\frac{2\Delta t}{h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}+\frac{2\Delta t}{h_y},\quad \tilde b_k=1+\frac{2t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2},$$$$\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,t^{n+1/2}x_jy_k.$$

Сходимость

① условно ($3\Delta t/h_x\le1$). ② при $4h_y\le2\sigma_y=2t$ ($h_y\le t/2$): $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{2t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: справа ГУ 1-го рода $u(t,1,y)=ty$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}y_k$. $C_x=+3>0$ — счёт от правой границы $x=1$ (одно ГУ).

② по $y$: слева ГУ 2-го рода $u_y(0)=0$: $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=0$. Справа ГУ 3-го рода $u_y(1)=3u(1)$: $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=3u_{j,N_y}^{n+1}\Rightarrow u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}-3h_y}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① по $x$ от границы $x=1$ (1-й род) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 2-й; справа 3-й), полный $\sigma_y=t$ $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+3\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-0.8t\frac{\partial u}{\partial y}.$$

$\sigma_x=2,\sigma_y=3,\ C_x=0,\ C_y=-0.8t$. Оба оператора расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$).

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+\tfrac32\Lambda_{yy}u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+\tfrac32\Lambda_{yy}u^{n+1}-0.8t^{n+1/2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}$$

($1=\tfrac{\sigma_x}{2}$, $\tfrac32=\tfrac{\sigma_y}{2}$.)

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=2,\ C_x=0$): $a_j=c_j=-\dfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+\tfrac32\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($\sigma_y=3,\ C_y=-0.8t$): при $u_{j,k+1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_y^2}-C_y\dfrac{\Delta t}{2h_y}=-\dfrac{3\Delta t}{2h_y^2}+0.8t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$; при $u_{j,k-1}$: $-\dfrac{3\Delta t}{2h_y^2}-0.8t^{n+1/2}\dfrac{\Delta t}{2h_y}$:

$$\tilde c_k=-\frac{3\Delta t}{2h_y^2}+0.4t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde a_k=-\frac{3\Delta t}{2h_y^2}-0.4t^{n+1/2}\frac{\Delta t}{h_y},\quad \tilde b_k=1+\frac{3\Delta t}{h_y^2},$$$$\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость

① безусловно. ② при $0.8t\,h_y\le2\cdot3=6$ — выполнено.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$ — оба ГУ: слева 3-й род $u_x(0)=6u(0)$: $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=6u_{1,k}^{n+1/2}\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}}{1+6h_x}$, т.е. $\alpha_1=\dfrac{1}{1+6h_x},\ \beta_1=0$. Справа 2-й род $u_x(1)=0$: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N_x-1}}{1-\alpha_{N_x-1}}.$

② по $y$: слева ГУ 1-го рода $u(t,x,0)=t$: $\hat\alpha_1=0,\ \hat\beta_1=t^{n+1}$. Справа ГУ 2-го рода $u_y(1)=2tx$: $u_{j,N_y}^{n+1}=\dfrac{2t^{n+1}x_jh_y+\hat\beta_{N_y-1}}{1-\hat\alpha_{N_y-1}}.$

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0=0$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 3-й; справа 2-й) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 1-й; справа 2-й) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+5\frac{\partial u}{\partial y}=9\frac{\partial u}{\partial x}+4\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+7t\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-3u.$$

$u_t=4u_{xx}+7t\,u_{yy}+9u_x-5u_y-3u$: $\sigma_x=4,\ \sigma_y=7t,\ C_x=+9,\ C_y=-5$, реакция $-3$. Оба оператора расщепляются ($\tfrac{\sigma}{2}$). Реакцию относим во ②.

Схема переменных направлений (СПН) расщепляет шаг $\Delta t$ точкой $t^{n+1/2}$ на две подсхемы. Подсхема ① неявна по $x$ (уровень $n+1/2$) и явна по $y$ (уровень $n$); подсхема ② неявна по $y$ (уровень $n+1$) и явна по $x$ (уровень $n+1/2$). Каждая подсхема — трёхдиагональная система, решается методом прогонки. Диффузионный оператор, который расщепляется между обеими подсхемами, берётся с множителем $\tfrac{\sigma}{2}$; свободный член записывается во второй подсхеме на шаге $(n+1/2)$.

$\Lambda_{xx}u_{j,k}=\dfrac{u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{h_x^2}$, $\Lambda_{yy}u_{j,k}=\dfrac{u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{h_y^2}$; первые производные — центральные разности $\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_x}$, $\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_y}$.

Схема

$$\text{①}\ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+9\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\tfrac{7t^{n+1/2}}{2}\Lambda_{yy}u^{n}$$

$$\text{②}\ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=2\Lambda_{xx}u^{n+1/2}+\tfrac{7t^{n+1/2}}{2}\Lambda_{yy}u^{n+1}-5\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}-3u_{j,k}^{n+1}$$

($2=\tfrac{\sigma_x}{2}$, $\tfrac{7t}{2}=\tfrac{\sigma_y}{2}$.)

Прогоночные коэффициенты

① ($\sigma_x=4,\ C_x=+9$): $c_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}-9\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $a_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2}+9\dfrac{\Delta t}{2h_x}$, $b_j=1+\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}+\tfrac{7t^{n+1/2}}{2}\Delta t\,\Lambda_{yy}u_{j,k}^{n}.$

Рекуррентное соотношение прогонки по $x$: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_{j+1}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_{j+1}$, где $\alpha_{j+1}=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_j}$, $\beta_{j+1}=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_j}{b_j+a_j\alpha_j}$.

② ($\sigma_y=7t,\ C_y=-5$, реакция $-3$): $\tilde c_k=-\dfrac{7t^{n+1/2}\Delta t}{2h_y^2}+5\dfrac{\Delta t}{2h_y}$, $\tilde a_k=-\dfrac{7t^{n+1/2}\Delta t}{2h_y^2}-5\dfrac{\Delta t}{2h_y}$, $\tilde b_k=1+\dfrac{7t^{n+1/2}\Delta t}{h_y^2}+3\Delta t$, $\tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}+2\Delta t\,\Lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}.$

Сходимость

① при $9h_x\le2\cdot4=8$ ($h_x\le8/9$); ② при $5h_y\le2\sigma_y=14t$; реакция $-3u$ увеличивает $\tilde b_k$, улучшая преобладание.

$\alpha_1,\beta_1$ и правая граница

① по $x$: слева ГУ 1-го рода $u(t,0,y)=t$: $\alpha_1=0,\ \beta_1=t^{n+1/2}$. Справа ГУ 3-го рода $u_x(1)=2u(1)-3$: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=2u_{N_x,k}^{n+1/2}-3\Rightarrow u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N_x-1}+3h_x}{1-\alpha_{N_x-1}-2h_x}.$

② по $y$: слева ГУ 2-го рода $u_y(0)=0$: $\hat\alpha_1=1,\ \hat\beta_1=0$. Справа ГУ 1-го рода $u(t,x,1)=t+3x$: $u_{j,N_y}^{n+1}=t^{n+1}+3x_j$.

Порядок аппроксимации

$O(\Delta t^2,\,h_x^2,\,h_y^2)$ — центральная разность по времени относительно $t^{n+1/2}$.

Алгоритм решения

1. $u^0_{j,k}=3x_jy_k$.
2. ① прогонка по $x$ (слева 1-й; справа 3-й) $\to u^{n+1/2}$.
3. ② прогонка по $y$ (слева 2-й; справа 1-й) $\to u^{n+1}$.
4. повторять по $n$.