Подробные решения задач раздела методами курса. Условия задач и весь список — на странице «Задачник».
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
Система с искомыми функциями $u=u(t,x)$, $v=v(t,x)$:
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+v,\qquad \frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial v}{\partial x}+tx-u.$$НУ/ГУ: $u(0,x)=0,\;u(t,0)=0,\;u(t,1)=t$; $\;v(0,x)=x,\;v(t,1)=t+1.$
Условия для $u$ ($u(0,x)=0$, $u(t,0)=0$, $u(t,1)=t$) согласованы с алгебраической функцией $\tilde u=tx$. Условия для $v$ ($v(0,x)=x$, $v(t,1)=t+1$) — с $\tilde v=x+t$. Проверка: $\tilde u(0,x)=0,\ \tilde u(t,0)=0,\ \tilde u(t,1)=t$; $\ \tilde v(0,x)=x,\ \tilde v(t,1)=t+1$ — всё совпадает.
$$\boxed{\ \tilde u=tx,\qquad \tilde v=x+t\ }$$Уравнение для $u$. Добавляем $\varphi_1$ в свободный член (член $v$ оставляем — он содержит искомую функцию):
$$\tilde u_t+\tilde u_x=\tilde u_{xx}+\tilde v+\varphi_1 \;\Rightarrow\; x+t=0+(x+t)+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=0}.$$Уравнение для $v$. Член $-u$ оставляем в уравнении:
$$\tilde v_t=\tilde v_x+tx-\tilde u+\varphi_2 \;\Rightarrow\; 1=1+tx-tx+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=0}.$$Здесь пробные функции оказались точными решениями исходной системы ($\varphi_1=\varphi_2=0$) — добавок не требуется.
Точное решение: $\tilde u=tx,\ \tilde v=x+t$.
Тестовую систему решают исследуемой разностной схемой и сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u(t^n,x_j)=t^n x_j$ и $\tilde v(t^n,x_j)=x_j+t^n$ по критерию $\|U^n_j-\tilde u\|\le\varepsilon,\ \|V^n_j-\tilde v\|\le\varepsilon$. Совпадение в пределах $\varepsilon$ — схема устойчива и пригодна для исходной системы; превышение — схема неустойчива, выбирают другую.
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=x^2,\;u(t,0)=t^2,\;u(t,1)=t^2+1$; $\;v(0,x)=x,\;v(t,1)=t+1.$
Условия для $u$ дают $\tilde u=t^2+x^2$ ($\tilde u(0,x)=x^2,\ \tilde u(t,0)=t^2,\ \tilde u(t,1)=t^2+1$), для $v$ — $\tilde v=x+t$ ($\tilde v(0,x)=x,\ \tilde v(t,1)=t+1$).
$$\boxed{\ \tilde u=t^2+x^2,\qquad \tilde v=x+t\ }$$$u$-уравнение (член $2v$ оставляем):
$$2t+2x=2+2(\tilde v-1)+\varphi_1=2+2(x+t)-2+\varphi_1=2x+2t+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=0}.$$$v$-уравнение (член $-u$ оставляем):
$$1=1+t^2+x^2-\tilde u+\varphi_2=1+t^2+x^2-(t^2+x^2)+\varphi_2=1+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=0}.$$Точное решение: $\tilde u=t^2+x^2,\ \tilde v=x+t$ (исходная система уже точна, $\varphi_1=\varphi_2=0$).
Сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=(t^n)^2+x_j^2$, $\tilde v=x_j+t^n$ по критерию (15.12); выполнение неравенств в пределах $\varepsilon$ означает устойчивость схемы.
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=x,\;u(t,0)=0,\;u(t,1)=e^{t}$; $\;v(0,x)=0,\;v(t,1)=t.$
Свободные/коэффициентные члены экспоненциальны, поэтому для $u$ берём $\tilde u=x\,e^{t}$ ($\tilde u(0,x)=x,\ \tilde u(t,0)=0,\ \tilde u(t,1)=e^{t}$); для $v$ — алгебраическую $\tilde v=tx$ ($\tilde v(0,x)=0,\ \tilde v(t,1)=t$).
$$\boxed{\ \tilde u=x\,e^{t},\qquad \tilde v=tx\ }$$$u$-уравнение (член $v\,e^t$ оставляем):
$$t\,\tilde u_t=\tilde u_{xx}+\tilde v\,e^{t}+\varphi_1 \;\Rightarrow\; t\,x\,e^{t}=0+tx\,e^{t}+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=0}.$$$v$-уравнение (член $u$ оставляем):
$$e^{t}\tilde v_t-\tilde v_x=\tilde u-t+\varphi_2 \;\Rightarrow\; x\,e^{t}-t=x\,e^{t}-t+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=0}.$$Точное решение: $\tilde u=x\,e^{t},\ \tilde v=tx$.
Сравнивают численные $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=x_j e^{t^n}$, $\tilde v=t^n x_j$ по критерию (15.12).
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=x,\;u(t,0)=t,\;u(t,1)=e\,t+1$; $\;v(0,x)=e^{x}+1,\;v(t,0)=t+2.$
Граничные значения $u(t,1)=e\,t+1$ и $u(t,0)=t$ подсказывают экспоненту по $x$: $\tilde u=x+t\,e^{x}$ даёт $\tilde u(0,x)=x,\ \tilde u(t,0)=t,\ \tilde u(t,1)=1+t\,e=e\,t+1$. Для $v$: $\tilde v=e^{x}+t+1$ ($\tilde v(0,x)=e^{x}+1,\ \tilde v(t,0)=1+t+1=t+2$).
$$\boxed{\ \tilde u=x+t\,e^{x},\qquad \tilde v=e^{x}+t+1\ }$$$u$-уравнение (член $v$ оставляем):
$$\tilde u_t+\tilde u_x=\tilde u_{xx}+\tilde v-t+\varphi_1 \;\Rightarrow\; e^{x}+1+t\,e^{x}=t\,e^{x}+(e^{x}+t+1)-t+\varphi_1=t\,e^{x}+e^{x}+1+\varphi_1 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=0}.$$$v$-уравнение (член $u$ оставляем):
$$x\,\tilde v_t+t\,\tilde v_x=\tilde u+\varphi_2 \;\Rightarrow\; x\cdot1+t\,e^{x}=(x+t\,e^{x})+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=0}.$$Точное решение: $\tilde u=x+t\,e^{x},\ \tilde v=e^{x}+t+1$.
Сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=x_j+t^n e^{x_j}$, $\tilde v=e^{x_j}+t^n+1$ по критерию (15.12).
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=0,\;u(t,0)=t,\;u(t,1)=e\,t$; $\;v(0,x)=0,\;v(t,1)=t.$
Граничные значения $u(t,0)=t$, $u(t,1)=e\,t$ дают $\tilde u=t\,e^{x}$ ($\tilde u(0,x)=0,\ \tilde u(t,0)=t,\ \tilde u(t,1)=t\,e=e\,t$). Для $v$: $\tilde v=tx$ ($\tilde v(0,x)=0,\ \tilde v(t,1)=t$).
$$\boxed{\ \tilde u=t\,e^{x},\qquad \tilde v=tx\ }$$$u$-уравнение (член $-e^x v$ оставляем):
$$\tilde u_t=x\,\tilde u_{xx}+e^{x}(1-\tilde v)+\varphi_1 \;\Rightarrow\; e^{x}=x\,t\,e^{x}+e^{x}(1-tx)+\varphi_1=x\,t\,e^{x}+e^{x}-tx\,e^{x}+\varphi_1=e^{x}+\varphi_1 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=0}.$$$v$-уравнение (член $-u$ оставляем):
$$\tilde v_t-e^{x}\tilde v_x=x-\tilde u+\varphi_2 \;\Rightarrow\; x-e^{x}t=x-t\,e^{x}+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=0}.$$Точное решение: $\tilde u=t\,e^{x},\ \tilde v=tx$.
Сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=t^n e^{x_j}$, $\tilde v=t^n x_j$ по критерию (15.12).
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=x,\;u(t,0)=t^2,\;u(t,1)=t^2+1$; $\;v(0,x)=x,\;v(t,0)=0.$
Условия для $u$ дают $\tilde u=t^2+x$ ($\tilde u(0,x)=x,\ \tilde u(t,0)=t^2,\ \tilde u(t,1)=t^2+1$). Для $v$: $\tilde v=x$ ($\tilde v(0,x)=x,\ \tilde v(t,0)=0$).
$$\boxed{\ \tilde u=t^2+x,\qquad \tilde v=x\ }$$$u$-уравнение (член $v$ оставляем):
$$x(\tilde u_t+\tilde u_x)=\tilde u_{xx}+\tilde v+\varphi_1 \;\Rightarrow\; x(2t+1)=0+x+\varphi_1\;\Rightarrow\; 2tx+x=x+\varphi_1 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=2tx}.$$$v$-уравнение (член $2u$ оставляем):
$$\tilde v_t+t\,\tilde v_x=2\tilde u+t+\varphi_2 \;\Rightarrow\; 0+t\cdot1=2(t^2+x)+t+\varphi_2\;\Rightarrow\; t=2t^2+2x+t+\varphi_2 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=-2t^2-2x}.$$Точное решение построенной системы: $\tilde u=t^2+x,\ \tilde v=x$. Добавленные члены $\varphi_1=2tx$, $\varphi_2=-2t^2-2x$ зависят только от $t,x$ (не содержат $u,v$), поэтому тип устойчивости схемы для тестовой и для исходной системы один и тот же.
Сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=(t^n)^2+x_j$, $\tilde v=x_j$ по критерию (15.12).
Метод тестовых задач для системы уравнений. Спектральный (гармонический) анализ устойчивости для систем связанных уравнений, как правило, затруднён или невозможен, поэтому применяют метод тестовых задач (см. учебник, гл. 15.3, и разбор вопроса 25).
Ключевой факт: тип устойчивости разностной схемы не зависит от свободного члена $f(t^n,x_j,\dots)$, если тот содержит только независимые переменные и не содержит самих искомых функций. Поэтому можно подобрать пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$, построить для каждого уравнения системы добавку $\varphi$ к свободному члену так, чтобы пробные функции стали точными решениями, и затем сравнивать численное решение с известным точным по критерию
$$\bigl\|\,U^{n}_{j}-\tilde u(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon,\qquad \bigl\|\,V^{n}_{j}-\tilde v(t^n,x_j)\,\bigr\|\le\varepsilon\;\Rightarrow\;\text{схема устойчива.}$$Порядок действий. (1) по заданным НУ/ГУ восстанавливаем пробные точные решения $\tilde u,\tilde v$; (2) вычисляем входящие в систему производные пробных функций; (3) подставляем их в каждое уравнение, добавив искомую функцию $\varphi(t,x)$ в свободный член, и находим $\varphi$; (4) записываем тестовую систему (с найденными $\varphi$) и НУ/ГУ через пробные решения; (5) решаем её исследуемой схемой и сравниваем с $\tilde u,\tilde v$. Слагаемые, содержащие сами искомые функции $u,v$, остаются в уравнениях без изменений — они входят в дифференциальный оператор, а не в свободный член.
НУ/ГУ: $u(0,x)=x^2,\;u(t,0)=t,\;u(t,1)=t+1$; $\;v(0,x)=0,\;v(t,0)=2t.$
Условия для $u$ дают $\tilde u=x^2+t$ ($\tilde u(0,x)=x^2,\ \tilde u(t,0)=t,\ \tilde u(t,1)=t+1$). Для $v$: $\tilde v=2t$ ($\tilde v(0,x)=0,\ \tilde v(t,0)=2t$).
$$\boxed{\ \tilde u=x^2+t,\qquad \tilde v=2t\ }$$$u$-уравнение (член $v$ оставляем):
$$2\tilde u_t+t\,\tilde u_x=\tilde u_{xx}+\tilde v-2t+\varphi_1 \;\Rightarrow\; 2\cdot1+t\cdot2x=2+2t-2t+\varphi_1\;\Rightarrow\; 2+2tx=2+\varphi_1 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_1=2tx}.$$$v$-уравнение (член $2u$ оставляем):
$$x\,\tilde v_t+\tilde v_x=2(\tilde u+x)+\varphi_2 \;\Rightarrow\; 2x+0=2(x^2+t+x)+\varphi_2=2x^2+2t+2x+\varphi_2 \;\Rightarrow\;\boxed{\varphi_2=-2t-2x^2}.$$Точное решение: $\tilde u=x^2+t,\ \tilde v=2t$. Добавки $\varphi_1=2tx$, $\varphi_2=-2t-2x^2$ зависят лишь от $t,x$, поэтому устойчивость схемы для тестовой и исходной систем совпадает.
Сравнивают $U^n_j,V^n_j$ с $\tilde u=x_j^2+t^n$, $\tilde v=2t^n$ по критерию (15.12); совпадение в пределах $\varepsilon$ — схема устойчива.
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Система:
$$x\Big(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}+x\Big)=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+v,\qquad t\Big(\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}+t\Big)=u.$$Условия: $u(0,x)=0,\ u(t,0)=2t,\ u(t,1)=t$; $v(0,x)=2x,\ v(t,0)=0$. Свободные члены алгебраические — тесты берём многочленами.
Выбор тестов. Для $u$ ищем линейную по $x$ функцию: из $u(t,0)=2t$ и $u(t,1)=t$ получаем $\tilde u=2t-tx$; проверка $\tilde u(0,x)=0$ — выполнено. Для $v$: из $v(0,x)=2x$ и $v(t,0)=0$ берём $\tilde v=2x+tx$.
$$\boxed{\ \tilde u=2t-tx,\qquad \tilde v=2x+tx.\ }$$Производные: $\tilde u_t=2-x,\ \tilde u_x=-t,\ \tilde u_{xx}=0$; $\tilde v_t=x,\ \tilde v_x=2+t$.
Уравнение 1. Подставляем тест в добавленное уравнение $x(\tilde u_t+\tilde u_x+x)=\tilde u_{xx}+\tilde v+\varphi_1$:
$$x\big((2-x)+(-t)+x\big)=0+(2x+tx)+\varphi_1\;\Rightarrow\; x(2-t)=2x+tx+\varphi_1.$$$$2x-tx=2x+tx+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_1(t,x)=-2tx.\ }$$Уравнение 2. $t(\tilde v_t+\tilde v_x+t)=\tilde u+\varphi_2$:
$$t\big(x+(2+t)+t\big)=(2t-tx)+\varphi_2\;\Rightarrow\;t(x+2+2t)=2t-tx+\varphi_2.$$$$tx+2t+2t^2=2t-tx+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_2(t,x)=2tx+2t^2=2t(t+x).\ }$$Точное решение этой задачи — $\tilde u=2t-tx,\ \tilde v=2x+tx$. Проверка: решаем тестовую систему исследуемой схемой и сравниваем $u_j^n,v_j^n$ с $\tilde u,\tilde v$ в узлах сетки по критерию (15.12); если погрешность не превосходит $\varepsilon$ — схема устойчива и пригодна для исходной системы.
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Условия: $u(0,x)=x^2+1,\ u(t,0)=e^t,\ u(t,1)=e^t+1$; $v(0,x)=x,\ v(t,0)=0$. Член $u(t,0)=e^t$ подсказывает экспоненту по $t$.
Выбор тестов. Берём $\tilde u=e^t+x^2$ (тогда $\tilde u(0,x)=1+x^2,\ \tilde u(t,0)=e^t,\ \tilde u(t,1)=e^t+1$) и $\tilde v=x$ (тогда $\tilde v(0,x)=x,\ \tilde v(t,0)=0$).
$$\boxed{\ \tilde u=e^t+x^2,\qquad \tilde v=x.\ }$$Производные: $\tilde u_t=e^t,\ \tilde u_{xx}=2$; $\tilde v_t=0,\ \tilde v_x=1$.
Уравнение 1. $x\tilde u_t=\tilde u_{xx}+\tilde v-2+\varphi_1$:
$$x e^t=2+x-2+\varphi_1=x+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_1=xe^t-x=x(e^t-1).\ }$$Уравнение 2. $\tilde v_t+x\tilde v_x=2x(\tilde u-x^2)+\varphi_2$:
$$0+x\cdot1=2x\big((e^t+x^2)-x^2\big)+\varphi_2=2xe^t+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_2=x-2xe^t=x(1-2e^t).\ }$$Точное решение — $\tilde u=e^t+x^2,\ \tilde v=x$. Сравнение численного решения с тестом по (15.12) даёт вывод об устойчивости схемы.
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Условия: $u(0,x)=e^x,\ u(t,0)=t^2+1,\ u(t,1)=t^2+e$; $v(0,x)=0,\ v(t,0)=t$. Тест — комбинация экспоненты по $x$ и многочлена по $t$.
Выбор тестов. $\tilde u=e^x+t^2$ ($\tilde u(0,x)=e^x,\ \tilde u(t,0)=1+t^2,\ \tilde u(t,1)=e+t^2$), $\tilde v=t$ ($\tilde v(0,x)=0,\ \tilde v(t,0)=t$).
$$\boxed{\ \tilde u=e^{x}+t^{2},\qquad \tilde v=t.\ }$$Производные: $\tilde u_t=2t,\ \tilde u_x=e^x,\ \tilde u_{xx}=e^x$; $\tilde v_t=1,\ \tilde v_x=0$.
Уравнение 1. $e^x\tilde u_t+e^t\tilde u_x=e^t\tilde u_{xx}+2\tilde v+\varphi_1$:
$$e^x\cdot2t+e^t e^x=e^t e^x+2t+\varphi_1\;\Rightarrow\;2te^x+e^{t+x}=e^{t+x}+2t+\varphi_1.$$$$\boxed{\ \varphi_1=2te^x-2t=2t\,(e^x-1).\ }$$Уравнение 2. $\tilde v_t+t e^{-x}\tilde v_x=\tilde u+\varphi_2$:
$$1+t e^{-x}\cdot0=e^x+t^2+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_2=1-e^x-t^2.\ }$$Точное решение — $\tilde u=e^x+t^2,\ \tilde v=t$; устойчивость устанавливают сравнением численного решения с тестом по (15.12).
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Условия: $u(0,x)=0,\ u(t,0)=2t,\ u(t,1)=3t$; $v(0,x)=0,\ v(t,1)=t$. Тесты — многочлены.
Выбор тестов. Линейно по $x$: из $u(t,0)=2t,\ u(t,1)=3t$ следует $\tilde u=2t+tx=t(2+x)$ (и $\tilde u(0,x)=0$). Из $v(0,x)=0,\ v(t,1)=t$ берём $\tilde v=tx$.
$$\boxed{\ \tilde u=t(2+x),\qquad \tilde v=tx.\ }$$Производные: $\tilde u_t=2+x,\ \tilde u_x=t,\ \tilde u_{xx}=0$; $\tilde v_t=x,\ \tilde v_x=t$.
Уравнение 1. $t\tilde u_t-2x\tilde u_x=2\tilde u_{xx}+\tilde v+\varphi_1$:
$$t(2+x)-2x\cdot t=0+tx+\varphi_1\;\Rightarrow\;2t+tx-2tx=tx+\varphi_1.$$$$2t-tx=tx+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_1=2t-2tx=2t(1-x).\ }$$Уравнение 2. $t\tilde v_t=2x\tilde v_x+\tilde u+\varphi_2$:
$$t\cdot x=2x\cdot t+t(2+x)+\varphi_2\;\Rightarrow\;tx=2tx+2t+tx+\varphi_2.$$$$\boxed{\ \varphi_2=tx-3tx-2t=-2tx-2t=-2t(x+1).\ }$$Точное решение — $\tilde u=t(2+x),\ \tilde v=tx$. Устойчивость проверяют сравнением численного решения с тестом по (15.12).
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Условия: $u(0,x)=e^x+1,\ u(t,0)=e^t+1,\ u(t,1)=e^t+e$; $v(0,x)=e^x,\ v(t,0)=t+1$. Свободные члены экспоненциальные — тесты берём с экспонентами.
Выбор тестов. $\tilde u=e^x+e^t$ ($\tilde u(0,x)=e^x+1,\ \tilde u(t,0)=1+e^t,\ \tilde u(t,1)=e+e^t$) и $\tilde v=e^x+t$ ($\tilde v(0,x)=e^x,\ \tilde v(t,0)=1+t$).
$$\boxed{\ \tilde u=e^{x}+e^{t},\qquad \tilde v=e^{x}+t.\ }$$Производные: $\tilde u_t=e^t,\ \tilde u_{xx}=e^x$; $\tilde v_t=1,\ \tilde v_x=e^x$.
Уравнение 1. $\tilde u_t=\tilde u_{xx}-\tilde v+t+e^t+\varphi_1$:
$$e^t=e^x-(e^x+t)+t+e^t+\varphi_1=e^t+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_1=0.\ }$$Уравнение 2. $e^t\tilde v_t+\tilde v_x=\tilde u+\varphi_2$:
$$e^t\cdot1+e^x=(e^x+e^t)+\varphi_2\;\Rightarrow\;e^t+e^x=e^x+e^t+\varphi_2\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_2=0.\ }$$Вывод. Поправки нулевые: выбранные тесты $\tilde u=e^x+e^t,\ \tilde v=e^x+t$ являются точными решениями уже самой исходной системы. Значит исходная задача (с заданными НУ/ГУ) сама служит тестовой задачей.
Решая её исследуемой схемой и сравнивая $u_j^n,v_j^n$ с точным тестом по критерию (15.12), судят об устойчивости схемы.
Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x$) и не содержит самих искомых функций. Поэтому исходную систему заменяют тестовой задачей, у которой:
Поправку находят подстановкой теста: $\varphi=(\text{левая часть})-(\text{правая часть})$ при подставленных производных теста. Члены с искомыми функциями $u,v$ в схеме оставляют как есть (их не заменяют тестом — заменяют только при вычислении $\varphi$). Полученную тестовую задачу решают исследуемой схемой и сравнивают с точным тестом по критерию
$$\big\|\,u_j^{\,n}-\tilde u(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon,\qquad \big\|\,v_j^{\,n}-\tilde v(t^n,x_j)\,\big\|\le\varepsilon\ \Rightarrow\ \text{схема устойчива.}$$Поскольку тестовая задача отличается от исходной только свободным членом, вывод об устойчивости переносится на исходную систему.
Условия: $u(0,x)=2x,\ u(t,0)=0,\ u(t,1)=e^t+1$; $v(0,x)=1,\ v(t,0)=e^t$.
Выбор тестов. Граница $u(t,1)=e^t+1$ при $u(t,0)=0$ требует множителя $x$: берём $\tilde u=x(e^t+1)$ (тогда $\tilde u(0,x)=2x,\ \tilde u(t,0)=0,\ \tilde u(t,1)=e^t+1$). Для $v$: из $v(0,x)=1,\ v(t,0)=e^t$ подходит $\tilde v=e^t$.
$$\boxed{\ \tilde u=x(e^{t}+1),\qquad \tilde v=e^{t}.\ }$$Производные: $\tilde u_t=xe^t,\ \tilde u_{xx}=0$; $\tilde v_t=e^t,\ \tilde v_x=0$.
Уравнение 1. $\tilde u_t=\tilde u_{xx}+x(\tilde v-tx)+\varphi_1$:
$$xe^t=0+x(e^t-tx)+\varphi_1=xe^t-tx^2+\varphi_1\;\Rightarrow\;\boxed{\ \varphi_1=tx^2.\ }$$Уравнение 2. $x\tilde v_t+t\tilde v_x=\tilde u+x^2+t^2-x+\varphi_2$:
$$x e^t+0=x(e^t+1)+x^2+t^2-x+\varphi_2=xe^t+x^2+t^2+\varphi_2.$$$$\boxed{\ \varphi_2=-(x^2+t^2).\ }$$Точное решение — $\tilde u=x(e^t+1),\ \tilde v=e^t$. Сравнение численного решения тестовой задачи с этим тестом по критерию (15.12) даёт вывод об устойчивости исследуемой схемы для исходной системы.