Раздел 10. **10.** Записать для уравнения схему предиктор-корректор. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Указать порядок аппроксимации схемы

Задача 10.1. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu^3 $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где коэффициенты при вторых производных переменны: $\sigma_x = y_k$, $\sigma_y = x_j$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $-t\,\partial u/\partial x$ (центральная разность) и нелинейный реакционный член $-tu^3$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = y_k\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = x_j\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = y_k\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + x_j\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; -\,t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;t_{n+1/2}\,\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^3. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{y_k}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+y_k\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{y_k}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{y_k}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+y_k\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = y_k\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+y_k\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

(Коэффициент $\sigma_x=y_k$ зависит от узла, поэтому $a_j,b_j$ пересчитываются в каждом узле; структура соотношения та же.)

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{x_j}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+x_j\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{x_j}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{x_j}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+x_j\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = x_j\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+x_j\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

(Коэффициент $\sigma_y=x_j$ зависит от узла — пересчитывается в каждом узле.)

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + y_k\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + x_j\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[-\,t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;t_{n+1/2}\,\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^3\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = -\,t_{n+1/2}\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x} - t_{n+1/2}\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^3$, где $t_{n+1/2}=\bigl(n+\tfrac12\bigr)\Delta t$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.2. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8t\frac{\partial u}{\partial y} + 5t $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 2$, $\sigma_y = 3$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $8t\,\partial u/\partial y$ (центральная разность) и источник $5t$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 2\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 3\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 2\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 3\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; 8t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;5\,t_{n+1/2}. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 2\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+3\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+3\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 3\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+3\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 2\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 3\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[8t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;5\,t_{n+1/2}\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = 8t_{n+1/2}\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} + 5t_{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.3. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} - t\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - t\frac{\partial u}{\partial y} + 3u^2(xy+1) $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 0$, $\sigma_y = 4$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективные члены $+t\,\partial u/\partial x$ и $-t\,\partial u/\partial y$ (центральные разности) и нелинейный член $3u^2(xy+1)$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

Замечание: в этом уравнении $\sigma_x=0$ — второй производной по $x$ нет. Первая подсхема предиктора (полушаг $n\!\to\!n+1/4$) вырождается в перенос значения $u^{n+1/4}_{j,k}=u^{n}_{j,k}$, а член $\partial u/\partial x$ (он первого порядка) уходит в корректор.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_{j,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 4\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 4\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;3\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2\!\bigl(x_jy_k+1\bigr). $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Вырождена, решается явным переносом:

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{4}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+4\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{4}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{4}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+4\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 4\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+4\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 4\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;3\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2\!\bigl(x_jy_k+1\bigr)\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = t_{n+1/2}\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x} - t_{n+1/2}\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} + 3\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2(x_jy_k+1)$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$: $u^{n+1/4}=u^{n}$ (вырожден).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.4. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} - 12\frac{\partial u}{\partial x} = 5\frac{\partial u}{\partial y} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 11\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 13ut $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 7$, $\sigma_y = 11$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективные члены $+12\,\partial u/\partial x$, $+5\,\partial u/\partial y$ (центральные разности) и реакционный член $-13ut$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 7\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 11\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 7\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 11\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; 12\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;+\;5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;-\;13\,t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{7}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+7\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{7}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{7}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+7\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 7\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+7\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{11}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+11\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{11}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{11}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+11\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 11\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+11\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 7\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 11\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[12\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;+\;5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;-\;13\,t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = 12\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x} + 5\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} - 13t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.5. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - x\frac{\partial u}{\partial y} + tuy $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 2$, $\sigma_y = 0$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $-x\,\partial u/\partial y$ (центральная разность) и реакционный член $+tuy$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

Замечание: в этом уравнении $\sigma_y=0$ — второй производной по $y$ нет. Вторая подсхема предиктора (полушаг $n+1/4\!\to\!n+1/2$) вырождается в перенос значения $u^{n+1/2}_{j,k}=u^{n+1/4}_{j,k}$, а член $\partial u/\partial y$ (он первого порядка) уходит в корректор.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 2\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 2\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} \;+\; -\,x_j\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 2\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Вырождена, решается явным переносом:

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 2\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} \;+\; \Delta t\Bigl[-\,x_j\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = -x_j\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} + t_{n+1/2}\,u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$: $u^{n+1/2}=u^{n+1/4}$ (вырожден).
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.6. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 0.5\frac{\partial u}{\partial y} + 2t $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 1$, $\sigma_y = 0.3$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $-0.5\,\partial u/\partial y$ (центральная разность) и источник $2t$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 1\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 0.3\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 1\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 0.3\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; -\,0.5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;2\,t_{n+1/2}. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{1}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+1\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{1}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{1}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+1\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 1\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+1\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{0.3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+0.3\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{0.3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{0.3}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+0.3\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 0.3\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+0.3\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 1\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 0.3\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[-\,0.5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;2\,t_{n+1/2}\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = -0.5\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} + 2t_{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.7. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + t^3 $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 0$, $\sigma_y = 0.6$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $-t\,\partial u/\partial x$ (центральная разность) и источник $t^3$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

Замечание: в этом уравнении $\sigma_x=0$ — второй производной по $x$ нет. Первая подсхема предиктора (полушаг $n\!\to\!n+1/4$) вырождается в перенос значения $u^{n+1/4}_{j,k}=u^{n}_{j,k}$, а член $\partial u/\partial x$ (он первого порядка) уходит в корректор.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_{j,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 0.6\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 0.6\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; -\,t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;+\;t_{n+1/2}^3. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Вырождена, решается явным переносом:

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{0.6}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+0.6\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{0.6}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{0.6}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+0.6\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 0.6\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+0.6\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 0.6\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[-\,t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;+\;t_{n+1/2}^3\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = -t_{n+1/2}\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x} + t_{n+1/2}^3$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$: $u^{n+1/4}=u^{n}$ (вырожден).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.8. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} - 2t\frac{\partial u}{\partial x} = 8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3tu^2 $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 8$, $\sigma_y = 5$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $+2t\,\partial u/\partial x$ (центральная разность) и нелинейный член $-3tu^2$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 8\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 5\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 8\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; 2t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;3\,t_{n+1/2}\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{8}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+8\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{8}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{8}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+8\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 8\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+8\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Аналогично приводим к трёхдиагональному виду по $k$:

$$ -\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1/2} +\Bigl(1+5\,\frac{\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2} -\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ \tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+5\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/4}; $$$$ |\tilde a_k|+|\tilde c_k| = 5\,\frac{\Delta t}{h_y^2} < 1+5\,\frac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $k$ при внешнем цикле $j$):

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = \tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2} + \tilde\beta_k, \qquad \tilde\alpha_k=-\frac{\tilde a_k}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}},\quad \tilde\beta_k=\frac{\tilde\xi_{j,k}-\tilde c_k\tilde\beta_{k-1}}{\tilde b_k+\tilde c_k\tilde\alpha_{k-1}}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 8\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + 5\,\Delta t\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2} \;+\; \Delta t\Bigl[2t_{n+1/2}\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\;-\;3\,t_{n+1/2}\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = 2t_{n+1/2}\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x} - 3t_{n+1/2}\bigl(u_{j,k}^{n+1/2}\bigr)^2$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$ ($n+1/4\!\to\!n+1/2$): прогонка ② по $k$ во внешнем цикле по $j$, с учётом ГУ по $y$.
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Задача 10.9. Схема предиктор-корректор

Уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial u}{\partial y} + 2uy $$

1. Выделение членов уравнения

Запишем уравнение в каноническом для двумерной параболической задачи виде (см. (7.1) методички, гл. 7.9):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + f(t,x,y), $$

где $\sigma_x = 2$, $\sigma_y = 0$, а в правую часть $f$ собраны все прочие члены — конвективный член $+0.5\,\partial u/\partial y$ (центральная разность) и реакционный член $+2uy$.

Согласно методу курса (разбор вопроса 16, семинар 9) предиктор расщепляет только вторые производные по направлениям $x$ и $y$, обеспечивая абсолютную устойчивость; все остальные члены (конвективные первые производные, реакционные и нелинейные слагаемые, источники) входят в правую часть корректора, аппроксимируемую относительно слоя $t^{n+1/2}$.

Замечание: в этом уравнении $\sigma_y=0$ — второй производной по $y$ нет. Вторая подсхема предиктора (полушаг $n+1/4\!\to\!n+1/2$) вырождается в перенос значения $u^{n+1/2}_{j,k}=u^{n+1/4}_{j,k}$, а член $\partial u/\partial y$ (он первого порядка) уходит в корректор.

2. Запись схемы предиктор-корректор

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$), а первая половина $\Delta t/2$ делится ещё раз (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора и корректора.

① Предиктор по $x$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n\!\to\!n+1/4$, учитывается только $\partial^2 u/\partial x^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = 2\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4} - 2u_{j,k}^{n+1/4} + u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}. $$

② Предиктор по $y$ (неявная на полушаге $\Delta t/2$, $n+1/4\!\to\!n+1/2$, учитывается только $\partial^2 u/\partial y^2$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

③ Корректор (полный шаг $n\!\to\!n+1$, правая часть на слое $t^{n+1/2}$):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = 2\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} \;+\; 0.5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;2\,u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k. $$

Все слагаемые правой части корректора берутся на промежуточном слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором, поэтому они известны, и корректор решается явно.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхема ① (предиктор по $x$). Приводим к трёхдиагональному виду (4.10). Перенося неизвестные слоя $n+1/4$ налево (множитель $\sigma_x\tfrac{\Delta t/2}{h_x^2}=\tfrac{\sigma_x}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$):

$$ -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/4} +\Bigl(1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/4} -\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/4} = u_{j,k}^{n}. $$

Коэффициенты прогонки и достаточное условие сходимости:

$$ a_j=c_j=-\frac{2}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}=u_{j,k}^{n}; $$$$ |a_j|+|c_j| = 2\,\frac{\Delta t}{h_x^2} < 1+2\,\frac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j| \;\Rightarrow\; \text{прогонка сходится.} $$

Рекуррентное прогоночное соотношение (прогонка по $j$ при внешнем цикле $k$):

$$ u_{j,k}^{n+1/4} = \alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4} + \beta_j, \qquad \alpha_j=-\frac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\quad \beta_j=\frac{\xi_{j,k}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}. $$

Подсхема ② (предиктор по $y$). Вырождена, решается явным переносом:

$$ u_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/4}. $$

Подсхема ③ (корректор). Решается не прогонкой, а явным рекуррентным соотношением, так как вся правая часть известна на слое $t^{n+1/2}$:

$$ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + 2\,\Delta t\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} \;+\; \Delta t\Bigl[0.5\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}\;+\;2\,u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k\Bigr]. $$

В обозначениях источника: $f^{n+1/2}_{j,k} = 0.5\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y} + 2u_{j,k}^{n+1/2}\,y_k$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в его левой части — центральная конечная разность второго порядка. Пространственные производные аппроксимированы центральными разностями (вторые — со вторым порядком по $h_x^2$, $h_y^2$; первые — центральной разностью также второго порядка). Следовательно, схема имеет порядок аппроксимации

$$ O\!\left(\Delta t^2,\; h_x^2,\; h_y^2\right). $$

Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость схемы, корректор повышает порядок по времени до второго.

5. Алгоритм решения (кратко)

1. Начальные условия: $u_{j,k}^{0}=\xi(x_j,y_k)$ для всех $j,k$.
2. Цикл по времени $n$.
3. Предиктор по $x$ ($n\!\to\!n+1/4$): прогонка ① по $j$ во внешнем цикле по $k$, с учётом ГУ по $x$ ($\alpha_1,\beta_1$ и $u_{N_x,k}$).
4. Предиктор по $y$: $u^{n+1/2}=u^{n+1/4}$ (вырожден).
5. Корректор ($n\!\to\!n+1$): по явному рекуррентному соотношению ③ вычисляются все внутренние $u_{j,k}^{n+1}$; граничные значения берутся из ГУ на слое $n+1$.
6. Переход к следующему шагу по времени.

Условие

$$\frac{\partial u}{\partial t}-t\frac{\partial u}{\partial x}+2t\frac{\partial u}{\partial y}=4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+t^2xy,\qquad u=u(t,x,y),\qquad u(t{=}0,x,y)=0.$$

1. Приведение к каноническому виду

Коэффициент при $\partial u/\partial t$ равен 1 — нормировка не нужна. Переносим конвективные члены $-t\,u_x$ и $+2t\,u_y$ и правую часть $t^2xy$ в источник:

Схема предиктор-корректор строится для уравнения вида $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+f(t,x,y)$, где в источник $f$ переносятся все остальные слагаемые (первые производные, реакционные члены и заданная правая часть).

Источник: $f_{j,k}^{n+1/2}=t^{n+1/2}\,\lambda_x u_{j,k}^{n+1/2}-2t^{n+1/2}\,\lambda_y u_{j,k}^{n+1/2}+\big(t^{n+1/2}\big)^2x_jy_k$, где $t^{n+1/2}=(n+\tfrac12)\Delta t$, $\lambda_x=\dfrac{(\cdot)_{j+1}-(\cdot)_{j-1}}{2h_x}$, $\lambda_y=\dfrac{(\cdot)_{k+1}-(\cdot)_{k-1}}{2h_y}$.

Здесь $\sigma_x=4$, $\sigma_y=5$.

2. Деление интервала и три подсхемы

Интервал $\Delta t$ между $t^{n}$ и $t^{n+1}$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левая половина $\Delta t/2$ между $t^{n}$ и $t^{n+1/2}$ делится ещё раз пополам (точка $t^{n+1/4}$). Схема состоит из трёх подсхем: двух подсхем предиктора (неявные по одной координате каждая, на полушагах $\Delta t/2$) и корректора (явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$).

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/4$), неявная по $x$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/4}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2}=4\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4}-2u_{j,k}^{n+1/4}+u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/4\to n+1/2$), неявная по $y$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=5\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}$$

③ Корректор ($n\to n+1$), центрирован относительно $t^{n+1/2}$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=4\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}+5\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}+\underbrace{\Big[t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}-2t^{n+1/2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}+\big(t^{n+1/2}\big)^2x_jy_k\Big]}_{f_{j,k}^{n+1/2}}$$

В источнике $f_{j,k}^{n+1/2}$ собраны конвективные члены $t\,u_x$ и $-2t\,u_y$ (центральные разности по пространству) и заданная правая часть $t^2xy$.

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① приводится к трёхдиагональному виду (прогонка по $j$ при фиксированном $k$):

$$\underbrace{\left(-\frac{4}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{a_j}u_{j-1,k}^{n+1/4}+\underbrace{\left(1+4\frac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{b_j}u_{j,k}^{n+1/4}+\underbrace{\left(-\frac{4}{2}\frac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{c_j}u_{j+1,k}^{n+1/4}=\underbrace{u_{j,k}^{n}}_{\xi_{j,k}}$$

Прогоночное соотношение $u_{j,k}^{n+1/4}=\alpha_j\,u_{j+1,k}^{n+1/4}+\beta_j$, где $\alpha_j=\dfrac{-c_j}{b_j+a_j\alpha_{j-1}}$, $\beta_j=\dfrac{\xi_{j,k}-a_j\beta_{j-1}}{b_j+a_j\alpha_{j-1}}$.

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=4\dfrac{\Delta t}{h_x^2}<1+4\dfrac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$ — диагональное преобладание, прогонка устойчива.

Подсхема ② (прогонка по $k$ при фиксированном $j$):

$$\underbrace{\left(-\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde a_k}u_{j,k-1}^{n+1/2}+\underbrace{\left(1+5\frac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde b_k}u_{j,k}^{n+1/2}+\underbrace{\left(-\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde c_k}u_{j,k+1}^{n+1/2}=\underbrace{u_{j,k}^{n+1/4}}_{\tilde\xi_{j,k}}$$

$u_{j,k}^{n+1/2}=\tilde\alpha_k\,u_{j,k+1}^{n+1/2}+\tilde\beta_k$; $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=5\dfrac{\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ — прогонка устойчива.

Подсхема ③ (корректор) — явное (рекуррентное) соотношение, все значения справа известны на слое $n+1/2$:

$$u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}+4\,\Delta t\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+5\,\Delta t\,\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n+1/2},$$

где $\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}$, $\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора центрирована относительно $t^{n+1/2}$, поэтому конечная разность по времени — центральная (2-й порядок). Предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость, корректор — повышение порядка по времени. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2}\right)$$

Условие

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial y}+0.8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+t,\qquad u=u(t,x,y),\qquad u(t{=}0,x,y)=0,\quad u(t,x{=}0,y)=0.$$

1. Приведение к каноническому виду

Коэффициент при $\partial u/\partial t$ равен 1. Переносим вправо конвекцию по $x$ ($-3u_x$), конвекцию по $y$ ($2u_y$) и правую часть $t$:

Вторая производная присутствует только по $y$ ($\sigma_y=0.8$, $\sigma_x=0$). Каноническая форма $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+f(t,x,y)$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам ($t^{n+1/2}$), левая половина — ещё пополам ($t^{n+1/4}$). Так как $u_{xx}$ отсутствует, первая подсхема предиктора (по $x$) вырождается, и нетривиальна только подсхема по $y$. Перенос по $x$ ($3u_x$) учитывается корректором.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/4$): диффузии по $x$ нет, $$\frac{u_{j,k}^{n+1/4}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2}=0\ \Rightarrow\ u_{j,k}^{n+1/4}=u_{j,k}^{n}.$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/4\to n+1/2$), неявная по $y$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=0.8\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}$$

③ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=0.8\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j,k-1}^{n+1/2}}{h_y^2}+\underbrace{\Big[-3\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+2\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}+t^{n+1/2}\Big]}_{f_{j,k}^{n+1/2}}$$

В источник $f_{j,k}^{n+1/2}$ собраны конвективные члены $-3u_x$ и $2u_y$ (центральные разности) и правая часть $t$.

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① прогонкой не решается: $u_{j,k}^{n+1/4}=u_{j,k}^{n}$.

Подсхема ② (прогонка по $k$):

$$\underbrace{\left(-\tfrac12\left(0.8\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde a_k}u_{j,k-1}^{n+1/2}+\underbrace{\left(1+0.8\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde b_k}u_{j,k}^{n+1/2}+\underbrace{\left(-\tfrac12\left(0.8\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)}_{\tilde c_k}u_{j,k+1}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/4}$$

$u_{j,k}^{n+1/2}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1/2}+\tilde\beta_k$; $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=0.8\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ — устойчива.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}+0.8\,\Delta t\,\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n+1/2}.$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — второй порядок по времени. Порядок:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2}\right)$$

Условие

$$\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-3\frac{\partial u}{\partial y}-2u^2,\qquad u=u(t,x,y),\qquad u(t{=}0,x,y)=2xy,\quad u(t,x,y{=}0)=t.$$

1. Приведение к каноническому виду

Коэффициент при $\partial u/\partial t$ равен 1. Переносим конвекцию $-t\,u_x$, $-3u_y$ и нелинейный член $-2u^2$ в источник:

Вторая производная присутствует только по $x$ ($\sigma_x=2$, $\sigma_y=0$). Нелинейный член $-2u^2$ переносим в источник, линеаризуя по известному слою $n+1/2$. Каноническая форма $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(t,x,y)$.

2. Деление интервала и подсхемы

$\Delta t\to t^{n+1/2}$, левая половина $\to t^{n+1/4}$. Нетривиальна подсхема по $x$; подсхема по $y$ вырождается (нет $u_{yy}$). Перенос по $y$ ($-3u_y$) — в корректор.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/4$), неявная по $x$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/4}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2}=2\frac{u_{j+1,k}^{n+1/4}-2u_{j,k}^{n+1/4}+u_{j-1,k}^{n+1/4}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/4\to n+1/2$): диффузии по $y$ нет, $$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=0\ \Rightarrow\ u_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/4}.$$

③ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}+\underbrace{\Big[-t^{n+1/2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}-3\frac{u_{j,k+1}^{n+1/2}-u_{j,k-1}^{n+1/2}}{2h_y}-2\big(u_{j,k}^{n+1/2}\big)^2\Big]}_{f_{j,k}^{n+1/2}}$$

В источник $f_{j,k}^{n+1/2}$ собраны конвекция $-t\,u_x$, $-3u_y$ (центральные разности) и нелинейный реакционный член $-2u^2$.

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\underbrace{\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{a_j}u_{j-1,k}^{n+1/4}+\underbrace{\left(1+2\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{b_j}u_{j,k}^{n+1/4}+\underbrace{\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)}_{c_j}u_{j+1,k}^{n+1/4}=u_{j,k}^{n}$$

$u_{j,k}^{n+1/4}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/4}+\beta_j$; $|a_j|+|c_j|=2\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② прогонкой не решается: $u_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/4}$.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}+2\,\Delta t\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n+1/2}.$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — второй порядок по времени. Порядок:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2}\right)$$

Условие

$$9\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}+7\frac{\partial u}{\partial y}-11\frac{\partial u}{\partial z}=6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-3u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Делим всё уравнение на коэффициент $9$ при $\partial u/\partial t$. Получаем $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{6}{9}u_{xx}+\frac{5}{9}u_{zz}-\frac{3}{9}u_x-\frac{7}{9}u_y+\frac{11}{9}u_z-\frac{3}{9}u$. Вторые производные — только по $x$ и $z$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. После деления на 9 остаётся $\sigma_x=\tfrac69,\ \sigma_z=\tfrac59$, $\sigma_y=0$.

Здесь $\sigma_x=\tfrac{2}{3}$, $\sigma_y=0$, $\sigma_z=\tfrac{5}{9}$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координатам $x,\;z$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\tfrac{2}{3}\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6}-2u_{j,k,m}^{n+1/6}+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}\ \text{(нет }u_{yy}\text{)}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=\tfrac{5}{9}\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-2u_{j,k,m}^{n+1/2}+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{2}{3}\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{5}{9}\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективные члены $-\tfrac{3}{9}u_x-\tfrac{7}{9}u_y+\tfrac{11}{9}u_z$ (центральные разности) и реакционный член $-\tfrac{3}{9}u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j-1,k,m}^{n+1/6}+\left(1+\tfrac{2}{3}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/6}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j+1,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$$

$a_j=c_j=-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+\tfrac{2}{3}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}$; $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_j$. $|a_j|+|c_j|=\tfrac{2}{3}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② прогонкой не решается (нет $u_{yy}$): $u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$.

Подсхема ③ (прогонка по $m$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{5}{9}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m-1}^{n+1/2}+\left(1+\tfrac{5}{9}\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/2}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{5}{9}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m+1}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$$

$\widetilde{\widetilde a}_m=\widetilde{\widetilde c}_m=-\tfrac12\left(\tfrac{5}{9}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde b}_m=1+\tfrac{5}{9}\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde\xi}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$; $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$. Устойчива.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac{2}{3}\,\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{5}{9}\,\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$\frac{\partial u}{\partial t}-4\frac{\partial u}{\partial x}+5\frac{\partial u}{\partial y}+6\frac{\partial u}{\partial z}=7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Коэффициент при $\partial u/\partial t$ равен 1. Вторые производные — по $x$ и $y$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. $\sigma_x=7,\ \sigma_y=2,\ \sigma_z=0$.

Здесь $\sigma_x=7$, $\sigma_y=2$, $\sigma_z=0$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координатам $x,\;y$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=7\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6}-2u_{j,k,m}^{n+1/6}+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=2\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j,k-1,m}^{n+1/3}}{h_y^2}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}\ \text{(нет }u_{zz}\text{)}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=7\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+2\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективные члены $4u_x-5u_y-6u_z$ (центральные разности) и реакционный член $-u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\left(-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j-1,k,m}^{n+1/6}+\left(1+7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/6}+\left(-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j+1,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$$

$a_j=c_j=-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}$; $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_j$. $|a_j|+|c_j|=7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② (прогонка по $k$):

$$\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k-1,m}^{n+1/3}+\left(1+2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/3}+\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k+1,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde b_k=1+2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi=u_{j,k,m}^{n+1/6}$; $u_{j,k,m}^{n+1/3}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+1/3}+\tilde\beta_k$. Устойчива.

Подсхема ③ прогонкой не решается (нет $u_{zz}$): $u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(7\,\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+2\,\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$4\frac{\partial u}{\partial t}+7\frac{\partial u}{\partial y}-3\frac{\partial u}{\partial z}=6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Делим на коэффициент $4$ при $\partial u/\partial t$: $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{6}{4}u_{xx}-\frac{7}{4}u_y+\frac{3}{4}u_z-\frac{2}{4}u$. Вторая производная — только по $x$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. $\sigma_x=\tfrac64=1.5$, $\sigma_y=\sigma_z=0$.

Здесь $\sigma_x=\tfrac{3}{2}$, $\sigma_y=0$, $\sigma_z=0$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координате $x$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\tfrac{3}{2}\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6}-2u_{j,k,m}^{n+1/6}+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}\ \text{(нет }u_{yy}\text{)}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}\ \text{(нет }u_{zz}\text{)}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{3}{2}\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективные члены $-\tfrac{7}{4}u_y+\tfrac{3}{4}u_z$ (центральные разности) и реакционный член $-\tfrac{2}{4}u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{3}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j-1,k,m}^{n+1/6}+\left(1+\tfrac{3}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/6}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{3}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j+1,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$$

$a_j=c_j=-\tfrac12\left(\tfrac{3}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+\tfrac{3}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}$; $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_j$. $|a_j|+|c_j|=\tfrac{3}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② прогонкой не решается (нет $u_{yy}$): $u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$.

Подсхема ③ прогонкой не решается (нет $u_{zz}$): $u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac{3}{2}\,\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$\frac{\partial u}{\partial t}+9\frac{\partial u}{\partial y}=7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+4\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Коэффициент при $\partial u/\partial t$ равен 1. Вторые производные — по $x$ и $z$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. $\sigma_x=7,\ \sigma_z=4,\ \sigma_y=0$.

Здесь $\sigma_x=7$, $\sigma_y=0$, $\sigma_z=4$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координатам $x,\;z$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=7\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6}-2u_{j,k,m}^{n+1/6}+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}\ \text{(нет }u_{yy}\text{)}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=4\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-2u_{j,k,m}^{n+1/2}+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=7\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+4\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективный член $-9u_y$ (центральная разность) и реакционный член $-u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\left(-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j-1,k,m}^{n+1/6}+\left(1+7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/6}+\left(-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j+1,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$$

$a_j=c_j=-\tfrac12\left(7\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}$; $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_j$. $|a_j|+|c_j|=7\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② прогонкой не решается (нет $u_{yy}$): $u_{j,k,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$.

Подсхема ③ (прогонка по $m$):

$$\left(-\tfrac12\left(4\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m-1}^{n+1/2}+\left(1+4\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/2}+\left(-\tfrac12\left(4\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m+1}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$$

$\widetilde{\widetilde a}_m=\widetilde{\widetilde c}_m=-\tfrac12\left(4\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde b}_m=1+4\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde\xi}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$; $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$. Устойчива.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(7\,\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+4\,\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$2\frac{\partial u}{\partial t}-3\frac{\partial u}{\partial x}+4\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-3u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Делим на коэффициент $2$ при $\partial u/\partial t$: $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}u_{xx}+\frac{5}{2}u_{yy}+\frac{3}{2}u_x-2u_z-\frac{3}{2}u$. Вторые производные — по $x$ и $y$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. $\sigma_x=\tfrac12,\ \sigma_y=\tfrac52,\ \sigma_z=0$.

Здесь $\sigma_x=\tfrac{1}{2}$, $\sigma_y=\tfrac{5}{2}$, $\sigma_z=0$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координатам $x,\;y$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\tfrac{1}{2}\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6}-2u_{j,k,m}^{n+1/6}+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=\tfrac{5}{2}\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j,k-1,m}^{n+1/3}}{h_y^2}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}\ \text{(нет }u_{zz}\text{)}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{1}{2}\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{5}{2}\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективные члены $\tfrac{3}{2}u_x-2u_z$ (центральные разности) и реакционный член $-\tfrac{3}{2}u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① (прогонка по $j$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{1}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j-1,k,m}^{n+1/6}+\left(1+\tfrac{1}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/6}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{1}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}\right)u_{j+1,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$$

$a_j=c_j=-\tfrac12\left(\tfrac{1}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $b_j=1+\tfrac{1}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}$, $\xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}$; $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_j$. $|a_j|+|c_j|=\tfrac{1}{2}\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ — устойчива.

Подсхема ② (прогонка по $k$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{5}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k-1,m}^{n+1/3}+\left(1+\tfrac{5}{2}\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/3}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{5}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k+1,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\tfrac12\left(\tfrac{5}{2}\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde b_k=1+\tfrac{5}{2}\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi=u_{j,k,m}^{n+1/6}$; $u_{j,k,m}^{n+1/3}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+1/3}+\tilde\beta_k$. Устойчива.

Подсхема ③ прогонкой не решается (нет $u_{zz}$): $u_{j,k,m}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac{1}{2}\,\lambda_{xx}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{5}{2}\,\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$3\frac{\partial u}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}+5\frac{\partial u}{\partial z}=6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+u,\qquad u=u(t,x,y,z),\qquad u(t{=}0,\cdot)=e^{x+y+z}.$$

1. Приведение к каноническому виду

Делим на коэффициент $3$ при $\partial u/\partial t$: $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{6}{3}u_{yy}+\frac{2}{3}u_{zz}-\frac{2}{3}u_x+\frac{1}{3}u_y-\frac{5}{3}u_z+\frac{1}{3}u$. Вторые производные — по $y$ и $z$.

Каноническая форма трёхмерного параболического уравнения: $\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\sigma_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\sigma_z\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+f(t,x,y,z)$. $\sigma_y=\tfrac63=2,\ \sigma_z=\tfrac23,\ \sigma_x=0$.

Здесь $\sigma_x=0$, $\sigma_y=2$, $\sigma_z=\tfrac{2}{3}$.

2. Деление интервала и подсхемы

Интервал $\Delta t$ делится пополам (точка $t^{n+1/2}$); левый полуинтервал $\Delta t/2$ делится на три равные части (точки $t^{n+1/6}$, $t^{n+1/3}$). Предиктор — три неявные подсхемы по одной координате каждая на полушагах $\Delta t/2$; корректор — явный шаг $\Delta t$, центрированный относительно $t^{n+1/2}$. Всего четыре подсхемы.

Поскольку в уравнении вторые производные присутствуют только по координатам $y,\;z$, предикторными (прогоночными) являются лишь соответствующие подсхемы; по координате без второй производной предиктор вырождается в тождество $u^{\text{след}}=u^{\text{пред}}$ (диффузии нет, переноса на этом полушаге не делаем), а сам перенос учитывается корректором. Это полностью соответствует методике: предиктор содержит только вторые производные и обеспечивает устойчивость.

① Предиктор по $x$ ($n\to n+1/6$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=0\quad\Rightarrow\quad u_{j,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}\ \text{(нет }u_{xx}\text{)}$$

② Предиктор по $y$ ($n+1/6\to n+1/3$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=2\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j,k-1,m}^{n+1/3}}{h_y^2}$$

③ Предиктор по $z$ ($n+1/3\to n+1/2$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=\tfrac{2}{3}\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-2u_{j,k,m}^{n+1/2}+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③′ Корректор ($n\to n+1$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=2\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{2}{3}\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}$$

В источник $f_{j,k,m}^{n+1/2}$ перенесены конвективные члены $-\tfrac{2}{3}u_x+\tfrac{1}{3}u_y-\tfrac{5}{3}u_z$ (центральные разности) и реакционный член $+\tfrac{1}{3}u$ (все берутся на слое $n+1/2$).

3. Рекуррентные соотношения подсхем

Подсхема ① прогонкой не решается (нет $u_{xx}$): $u_{j,k,m}^{n+1/6}=u_{j,k,m}^{n}$.

Подсхема ② (прогонка по $k$):

$$\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k-1,m}^{n+1/3}+\left(1+2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/3}+\left(-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}\right)u_{j,k+1,m}^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/6}$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\tfrac12\left(2\right)\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde b_k=1+2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$, $\tilde\xi=u_{j,k,m}^{n+1/6}$; $u_{j,k,m}^{n+1/3}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+1/3}+\tilde\beta_k$. Устойчива.

Подсхема ③ (прогонка по $m$):

$$\left(-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m-1}^{n+1/2}+\left(1+\tfrac{2}{3}\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m}^{n+1/2}+\left(-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}\right)u_{j,k,m+1}^{n+1/2}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$$

$\widetilde{\widetilde a}_m=\widetilde{\widetilde c}_m=-\tfrac12\left(\tfrac{2}{3}\right)\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde b}_m=1+\tfrac{2}{3}\tfrac{\Delta t}{h_z^2}$, $\widetilde{\widetilde\xi}=u_{j,k,m}^{n+1/3}$; $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$. Устойчива.

Корректор — явное рекуррентное соотношение:

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\Big(2\,\lambda_{yy}u_{j,k,m}^{n+1/2}+\tfrac{2}{3}\,\lambda_{zz}u_{j,k,m}^{n+1/2}+f_{j,k,m}^{n+1/2}\Big).$$

4. Порядок аппроксимации

Корректор центрирован относительно $t^{n+1/2}$ — центральная разность по времени, второй порядок. Предиктор даёт абсолютную устойчивость. Порядок схемы:

$$O\left(\Delta t^{2},\,h_x^{2},\,h_y^{2},\,h_z^{2}\right)$$

Условие

$$2\dfrac{\partial u}{\partial t} + 3\dfrac{\partial u}{\partial y} - 4\dfrac{\partial u}{\partial z} = 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 5u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $2$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\frac{5}{2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{1}{2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \frac{3}{2}\dfrac{\partial u}{\partial y} + 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{5}{2}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; -\frac{3}{2}\dfrac{\partial u}{\partial y} + 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{5}{2}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= -\frac{3}{2}\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2}-u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{2h_y} + 2\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{2h_z} - \frac{5}{2}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствуют вторые производные только по двум координатам ($x$ и $z$); по третьей координате диффузии нет, поэтому предиктор содержит две неявные подсхемы. Интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на две равные части точкой $t^{n+1/4}$. Всего схема состоит из трёх подсхем (два предиктора + корректор).

① Предиктор по $x$ (неявная по $x$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/4}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\frac{5}{2}\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/4} - 2u_{j,k,m}^{n+1/4} + u_{j-1,k,m}^{n+1/4}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=\frac{1}{2}\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\frac{5}{2}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{1}{2}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{xx},\;\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $x$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$u_{j+1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/4}\!\left[1+\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_x^2}\right]+u_{j-1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{j}=c_{j}=-\frac{\frac{5}{2}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad b_{j}=1+\frac{5}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{j}|+|c_{j}|\le|b_{j}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_x^2}\le 1+\dfrac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_x^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/4}=\alpha_{j}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/4}+\beta_{j}$.

Подсхема по $z$ ($t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{1}{2}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{\frac{1}{2}\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{1}{2}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/4}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{\frac{1}{2}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+\frac{1}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/4}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{1}{2}\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{\frac{1}{2}\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(\frac{5}{2}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{1}{2}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{5}{2}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} - 3\dfrac{\partial u}{\partial x} + 9\dfrac{\partial u}{\partial z} = 8\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} - u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Коэффициент при $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ равен единице, уравнение уже в стандартном виде. Перенесём все слагаемые правой части так, чтобы слева осталась только производная по времени:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=8\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3\dfrac{\partial u}{\partial x} - 9\dfrac{\partial u}{\partial z} - 1u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; 3\dfrac{\partial u}{\partial x} - 9\dfrac{\partial u}{\partial z} - 1u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= 3\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} - 9\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{2h_z} - 1\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствует вторая производная только по одной координате ($y$), поэтому предиктор содержит одну неявную подсхему на первой половине интервала (до точки $t^{n+1/2}$). Всего схема состоит из двух подсхем (предиктор + корректор).

① Предиктор по $y$ (неявная по $y$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=8\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{h_y^2}$$

② Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=8\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{yy}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $y$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k+1,m}^{n+1/2}\!\left[-\frac{8\,\Delta t}{2h_y^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{8\,\Delta t}{h_y^2}\right]+u_{j,k-1,m}^{n+1/2}\!\left[-\frac{8\,\Delta t}{2h_y^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{k}=c_{k}=-\frac{8}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad b_{k}=1+8\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{k}|+|c_{k}|\le|b_{k}|$ выполнено: $\dfrac{8\,\Delta t}{h_y^2}\le 1+\dfrac{8\,\Delta t}{h_y^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde\alpha_{k}\,u_{j,k+1,m}^{n+1/2}+\widetilde\beta_{k}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(8\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-1u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$2\dfrac{\partial u}{\partial t} + 5\dfrac{\partial u}{\partial x} - 4\dfrac{\partial u}{\partial y} = 6\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 3u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $2$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=3\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \frac{5}{2}\dfrac{\partial u}{\partial x} + 2\dfrac{\partial u}{\partial y} - \frac{3}{2}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; -\frac{5}{2}\dfrac{\partial u}{\partial x} + 2\dfrac{\partial u}{\partial y} - \frac{3}{2}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= -\frac{5}{2}\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} + 2\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2}-u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{2h_y} - \frac{3}{2}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствует вторая производная только по одной координате ($z$), поэтому предиктор содержит одну неявную подсхему на первой половине интервала (до точки $t^{n+1/2}$). Всего схема состоит из двух подсхем (предиктор + корректор).

① Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=3\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

② Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=3\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $z$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{3\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{3\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{3\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{3}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+3\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{3\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{3\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(3\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{3}{2}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$2\dfrac{\partial u}{\partial t} - \dfrac{\partial u}{\partial z} = 3\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 7u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $2$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\frac{3}{2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{5}{2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{1}{2}\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{7}{2}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; \frac{1}{2}\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{7}{2}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= \frac{1}{2}\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{2h_z} - \frac{7}{2}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствуют вторые производные только по двум координатам ($x$ и $y$); по третьей координате диффузии нет, поэтому предиктор содержит две неявные подсхемы. Интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на две равные части точкой $t^{n+1/4}$. Всего схема состоит из трёх подсхем (два предиктора + корректор).

① Предиктор по $x$ (неявная по $x$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/4}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\frac{3}{2}\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/4} - 2u_{j,k,m}^{n+1/4} + u_{j-1,k,m}^{n+1/4}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ (неявная по $y$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=\frac{5}{2}\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{h_y^2}$$

③ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\frac{3}{2}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{5}{2}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{xx},\;\lambda_{yy}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $x$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$u_{j+1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{3}{2}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/4}\!\left[1+\frac{\frac{3}{2}\,\Delta t}{h_x^2}\right]+u_{j-1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{3}{2}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{j}=c_{j}=-\frac{\frac{3}{2}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad b_{j}=1+\frac{3}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{j}|+|c_{j}|\le|b_{j}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{3}{2}\,\Delta t}{h_x^2}\le 1+\dfrac{\frac{3}{2}\,\Delta t}{h_x^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/4}=\alpha_{j}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/4}+\beta_{j}$.

Подсхема по $y$ ($t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k+1,m}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_y^2}\right]+u_{j,k-1,m}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/4}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{k}=c_{k}=-\frac{\frac{5}{2}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad b_{k}=1+\frac{5}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/4}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{k}|+|c_{k}|\le|b_{k}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_y^2}\le 1+\dfrac{\frac{5}{2}\,\Delta t}{h_y^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde\alpha_{k}\,u_{j,k+1,m}^{n+1/2}+\widetilde\beta_{k}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(\frac{3}{2}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{5}{2}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{7}{2}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$8\dfrac{\partial u}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial x} - 2\dfrac{\partial u}{\partial y} = 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $8$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\frac{5}{8}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{3}{8}\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \frac{1}{8}\dfrac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{4}\dfrac{\partial u}{\partial y} - \frac{1}{8}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; -\frac{1}{8}\dfrac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{4}\dfrac{\partial u}{\partial y} - \frac{1}{8}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= -\frac{1}{8}\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} + \frac{1}{4}\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2}-u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{2h_y} - \frac{1}{8}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствуют вторые производные только по двум координатам ($x$ и $z$); по третьей координате диффузии нет, поэтому предиктор содержит две неявные подсхемы. Интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на две равные части точкой $t^{n+1/4}$. Всего схема состоит из трёх подсхем (два предиктора + корректор).

① Предиктор по $x$ (неявная по $x$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/4}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\frac{5}{8}\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/4} - 2u_{j,k,m}^{n+1/4} + u_{j-1,k,m}^{n+1/4}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=\frac{3}{8}\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\frac{5}{8}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{3}{8}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{xx},\;\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $x$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$u_{j+1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{5}{8}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/4}\!\left[1+\frac{\frac{5}{8}\,\Delta t}{h_x^2}\right]+u_{j-1,k,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{5}{8}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{j}=c_{j}=-\frac{\frac{5}{8}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad b_{j}=1+\frac{5}{8}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{j}|+|c_{j}|\le|b_{j}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{5}{8}\,\Delta t}{h_x^2}\le 1+\dfrac{\frac{5}{8}\,\Delta t}{h_x^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/4}=\alpha_{j}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/4}+\beta_{j}$.

Подсхема по $z$ ($t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{3}{8}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{\frac{3}{8}\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{3}{8}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/4}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{\frac{3}{8}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+\frac{3}{8}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/4}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{3}{8}\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{\frac{3}{8}\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(\frac{5}{8}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{3}{8}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{1}{8}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$3\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2\dfrac{\partial u}{\partial x} = 4\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 9\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 8u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $3$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\frac{4}{3}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 3\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - \frac{2}{3}\dfrac{\partial u}{\partial x} - \frac{8}{3}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; -\frac{2}{3}\dfrac{\partial u}{\partial x} - \frac{8}{3}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= -\frac{2}{3}\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} - \frac{8}{3}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствуют вторые производные только по двум координатам ($y$ и $z$); по третьей координате диффузии нет, поэтому предиктор содержит две неявные подсхемы. Интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на две равные части точкой $t^{n+1/4}$. Всего схема состоит из трёх подсхем (два предиктора + корректор).

① Предиктор по $y$ (неявная по $y$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/4}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\frac{4}{3}\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/4} - 2u_{j,k,m}^{n+1/4} + u_{j,k-1,m}^{n+1/4}}{h_y^2}$$

② Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=3\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\frac{4}{3}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + 3\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{yy},\;\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $y$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$u_{j,k+1,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{4}{3}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/4}\!\left[1+\frac{\frac{4}{3}\,\Delta t}{h_y^2}\right]+u_{j,k-1,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{\frac{4}{3}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{k}=c_{k}=-\frac{\frac{4}{3}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad b_{k}=1+\frac{4}{3}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{k}|+|c_{k}|\le|b_{k}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{4}{3}\,\Delta t}{h_y^2}\le 1+\dfrac{\frac{4}{3}\,\Delta t}{h_y^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/4}=\widetilde\alpha_{k}\,u_{j,k+1,m}^{n+1/4}+\widetilde\beta_{k}$.

Подсхема по $z$ ($t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{3\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{3\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{3\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/4}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{3}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+3\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/4}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{3\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{3\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(\frac{4}{3}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + 3\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{8}{3}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$3\dfrac{\partial u}{\partial t} - 2\dfrac{\partial u}{\partial x} - \dfrac{\partial u}{\partial y} + 6\dfrac{\partial u}{\partial z} = 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 2u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Уравнение содержит множитель при производной по времени, поэтому разделим обе части на $3$, чтобы привести его к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\ldots$:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\frac{2}{3}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{1}{3}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{5}{3}\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \frac{2}{3}\dfrac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{3}\dfrac{\partial u}{\partial y} - 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{2}{3}u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; \frac{2}{3}\dfrac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{3}\dfrac{\partial u}{\partial y} - 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - \frac{2}{3}u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= \frac{2}{3}\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} + \frac{1}{3}\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n+1/2}-u_{j,k-1,m}^{n+1/2}}{2h_y} - 2\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{2h_z} - \frac{2}{3}\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

Задача трёхмерная, в уравнении присутствуют вторые производные по всем трём координатам $x,y,z$. Согласно методике (гл. 9.8), интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на три равные части точками $t^{n+1/6}$ и $t^{n+1/3}$. Предиктор состоит из трёх неявных подсхем (по $x$, по $y$, по $z$), корректор — четвёртая подсхема. Всего схема состоит из четырёх подсхем.

① Предиктор по $x$ (неявная по $x$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/6}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/6}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=\frac{2}{3}\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6} - 2u_{j,k,m}^{n+1/6} + u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}$$

② Предиктор по $y$ (неявная по $y$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/6}\!\to\!t^{n+1/3}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2}=\frac{1}{3}\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/3} - 2u_{j,k,m}^{n+1/3} + u_{j,k-1,m}^{n+1/3}}{h_y^2}$$

③ Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/3}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2}=\frac{5}{3}\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

④ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=\frac{2}{3}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{1}{3}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{5}{3}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{xx},\;\lambda_{yy},\;\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $x$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/6}$):

$$u_{j+1,k,m}^{n+1/6}\!\left[-\frac{\frac{2}{3}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/6}\!\left[1+\frac{\frac{2}{3}\,\Delta t}{h_x^2}\right]+u_{j-1,k,m}^{n+1/6}\!\left[-\frac{\frac{2}{3}\,\Delta t}{2h_x^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{j}=c_{j}=-\frac{\frac{2}{3}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad b_{j}=1+\frac{2}{3}\,\frac{\Delta t}{h_x^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{j}|+|c_{j}|\le|b_{j}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{2}{3}\,\Delta t}{h_x^2}\le 1+\dfrac{\frac{2}{3}\,\Delta t}{h_x^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/6}=\alpha_{j}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/6}+\beta_{j}$.

Подсхема по $y$ ($t^{n+1/6}\!\to\!t^{n+1/3}$):

$$u_{j,k+1,m}^{n+1/3}\!\left[-\frac{\frac{1}{3}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/3}\!\left[1+\frac{\frac{1}{3}\,\Delta t}{h_y^2}\right]+u_{j,k-1,m}^{n+1/3}\!\left[-\frac{\frac{1}{3}\,\Delta t}{2h_y^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/6}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{k}=c_{k}=-\frac{\frac{1}{3}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad b_{k}=1+\frac{1}{3}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/6}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{k}|+|c_{k}|\le|b_{k}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{1}{3}\,\Delta t}{h_y^2}\le 1+\dfrac{\frac{1}{3}\,\Delta t}{h_y^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/3}=\widetilde\alpha_{k}\,u_{j,k+1,m}^{n+1/3}+\widetilde\beta_{k}$.

Подсхема по $z$ ($t^{n+1/3}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{5}{3}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{\frac{5}{3}\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{\frac{5}{3}\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/3}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{\frac{5}{3}}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+\frac{5}{3}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{\frac{5}{3}\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{\frac{5}{3}\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(\frac{2}{3}\,\lambda_{xx}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{1}{3}\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + \frac{5}{3}\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-\frac{2}{3}u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.

Условие

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} + 5\dfrac{\partial u}{\partial x} - 2\dfrac{\partial u}{\partial z} = 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 6\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 7u$$

$$u=u(t,x,y,z),\qquad u(t=0,x,y,z)=e^{x+y+z}$$

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Коэффициент при $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ равен единице, уравнение уже в стандартном виде. Перенесём все слагаемые правой части так, чтобы слева осталась только производная по времени:

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=5\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 6\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 5\dfrac{\partial u}{\partial x} + 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - 7u$$

В схеме предиктор-корректор предиктор обеспечивает абсолютную устойчивость: на каждой части интервала записывается неявная подсхема, учитывающая диффузионный член (вторую производную) по одной координате. Корректор повышает порядок аппроксимации по времени до второго за счёт центрирования относительно точки $t^{n+1/2}$. Все оставшиеся слагаемые (конвективные первые производные, реакционный член и источник) входят в правую часть корректора, аппроксимированную на слое $t^{n+1/2}$ и обозначаемую далее как обобщённый свободный член $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$.

В данной задаче источник $f(t,x,y,z)=0$, поэтому обобщённый свободный член содержит только конвективные и реакционный члены:

$$f \;\equiv\; -5\dfrac{\partial u}{\partial x} + 2\dfrac{\partial u}{\partial z} - 7u.$$

На сетке его значение на слое $t^{n+1/2}$ записывается в разностном виде (центральные разности для первых производных):

$$f_{j,k,m}^{\,n+1/2}= -5\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/2}-u_{j-1,k,m}^{n+1/2}}{2h_x} + 2\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2}-u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{2h_z} - 7\,u_{j,k,m}^{n+1/2}.$$

2. Схема предиктор-корректор

В уравнении присутствуют вторые производные только по двум координатам ($y$ и $z$); по третьей координате диффузии нет, поэтому предиктор содержит две неявные подсхемы. Интервал $\Delta t$ делится пополам точкой $t^{n+1/2}$, а первая половина $\Delta t/2$ делится на две равные части точкой $t^{n+1/4}$. Всего схема состоит из трёх подсхем (два предиктора + корректор).

① Предиктор по $y$ (неявная по $y$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/4}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2}=5\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/4} - 2u_{j,k,m}^{n+1/4} + u_{j,k-1,m}^{n+1/4}}{h_y^2}$$

② Предиктор по $z$ (неявная по $z$, на части интервала $\Delta t/2$, $t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/2}-u_{j,k,m}^{n+1/4}}{\Delta t/2}=6\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}$$

③ Корректор (на всём интервале $\Delta t$, все пространственные операторы берутся на слое $t^{n+1/2}$, посчитанном предиктором):

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=5\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + 6\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$$

где $\lambda_{yy},\;\lambda_{zz}$ — оператор центральной второй разности по соответствующей координате, например $\lambda_{xx}u_{j,k,m}=\dfrac{u_{j+1,k,m}-2u_{j,k,m}+u_{j-1,k,m}}{h_x^2}$.

3. Рекуррентные соотношения для подсхем

Подсхемы предиктора. Каждая подсхема предиктора неявна и приводится к трёхдиагональному виду (4.10), решается методом прогонки по своей координате. После раскрытия центральной разности и переноса (множитель $\sigma/2$ возникает из деления на полушаг $\Delta t/2$):

Подсхема по $y$ ($t^{n}\!\to\!t^{n+1/4}$):

$$u_{j,k+1,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{5\,\Delta t}{2h_y^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/4}\!\left[1+\frac{5\,\Delta t}{h_y^2}\right]+u_{j,k-1,m}^{n+1/4}\!\left[-\frac{5\,\Delta t}{2h_y^2}\right]=u_{j,k,m}^{n}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{k}=c_{k}=-\frac{5}{2}\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad b_{k}=1+5\,\frac{\Delta t}{h_y^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{k}|+|c_{k}|\le|b_{k}|$ выполнено: $\dfrac{5\,\Delta t}{h_y^2}\le 1+\dfrac{5\,\Delta t}{h_y^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/4}=\widetilde\alpha_{k}\,u_{j,k+1,m}^{n+1/4}+\widetilde\beta_{k}$.

Подсхема по $z$ ($t^{n+1/4}\!\to\!t^{n+1/2}$):

$$u_{j,k,m+1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{6\,\Delta t}{2h_z^2}\right]+u_{j,k,m}^{n+1/2}\!\left[1+\frac{6\,\Delta t}{h_z^2}\right]+u_{j,k,m-1}^{n+1/2}\!\left[-\frac{6\,\Delta t}{2h_z^2}\right]=u_{j,k,m}^{n+1/4}$$

Прогоночные коэффициенты:

$$a_{m}=c_{m}=-\frac{6}{2}\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad b_{m}=1+6\,\frac{\Delta t}{h_z^2},\qquad \xi_{j,k,m}=u_{j,k,m}^{n+1/4}.$$

Достаточное условие сходимости прогонки $|a_{m}|+|c_{m}|\le|b_{m}|$ выполнено: $\dfrac{6\,\Delta t}{h_z^2}\le 1+\dfrac{6\,\Delta t}{h_z^2}$ — подсхема абсолютно устойчива. Рекуррентное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k,m}^{n+1/2}=\widetilde{\widetilde\alpha}_{m}\,u_{j,k,m+1}^{n+1/2}+\widetilde{\widetilde\beta}_{m}$.

Подсхема корректора. В правой части корректора все значения известны (посчитаны предиктором на слое $t^{n+1/2}$), поэтому он решается явно, с помощью рекуррентного соотношения (умножаем на $\Delta t$ и переносим $u^{n}$):

$$u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}+\Delta t\left(5\,\lambda_{yy}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + 6\,\lambda_{zz}\,u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{\,n+1/2}\right)$$

Здесь $f_{j,k,m}^{\,n+1/2}$ — обобщённый свободный член из п. 1 (конвективные члены через центральные разности и реакционный член $-7u_{j,k,m}^{n+1/2}$), вычисленный на слое $t^{n+1/2}$.

4. Порядок аппроксимации

Правая часть корректора аппроксимирована относительно точки $t^{n+1/2}$, поэтому разностный оператор по времени в левой части является центральной конечной разностью второго порядка — отсюда второй порядок по времени $O(\Delta t^2)$. Вторые производные аппроксимированы центральными разностями второго порядка.

Конвективные первые производные в свободном члене аппроксимированы центральными разностями (второй порядок), однако в курсе для устойчивости конвективные члены, как правило, берутся односторонними (первого порядка). Если использовать центральные разности для первых производных, порядок по пространству:

$$O\!\left(\Delta t^2,\;h_x^2,\;h_y^2,\;h_z^2\right),$$

при односторонней (против потока) аппроксимации конвективных членов порядок по соответствующим координатам понижается до первого. Абсолютную устойчивость всей схемы обеспечивает предиктор, повышение порядка по времени — корректор.