Раздел 11: решения — Численные методы

Задача 11.1

$$\frac{\partial u}{\partial t} + 0.5\frac{\partial u}{\partial x} = -2\frac{\partial u}{\partial y} + xy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Уравнение содержит только первые производные по $t,x,y$ — это многомерное уравнение в частных производных 1-го порядка. Перенесём все конвективные члены влево, приведя к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+v_2\dfrac{\partial u}{\partial y}=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+0{,}5\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}=xy $$

Скорости переноса: $v_1=0{,}5$, $v_2=2$; свободный член $f=xy$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

Для уравнения 1-го порядка по каждой координате ставится одно ГУ — на той границе, через которую поток «входит» в область (правило выбора разности против потока, семинар 6):

по $x$: $v_1=0{,}5$ положительна — левая разность, ГУ на границе u(t,x{=}0,y)=0;
по $y$: $v_2=2$ положительна — левая разность, ГУ на границе u(t,x,y{=}0)=0.

Из набора в условии выбираем входные ГУ:

$$ u(t,x{=}0,y)=0,\qquad u(t,x,y{=}0)=0 $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y)=0$.

3. Явная разностная схема

Производную по времени — правой разностью (со слоя $n$ на $n{+}1$), пространственные производные — выбранными односторонними разностями на известном слое $n$:

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j,k}^{n}-u_{j-1,k}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{h_y}=x_j\,y_k $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ (гармоника $u_{j,k}^{n}=\lambda^{n}e^{i\alpha j}e^{i\beta k}$, вопрос 18) даёт обобщённое по модулям скоростей условие — схема условно устойчива:

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1\,} $$

Подставляя модули: $0{,}5\dfrac{\Delta t}{h_x}+2\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1$. Отсюда $\Delta t\le\left(0{,}5/h_x+2/h_y\right)^{-1}$.

5. Рекуррентное соотношение

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ явно:

$$ u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j,k}^{n}-u_{j-1,k}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k}^{n}-u_{j,k-1}^{n}\right)+\Delta t\,x_j\,y_k $$

Внутренние узлы рассчитываются напрямую (СЛАУ не возникает); значения на входных границах — из выбранных ГУ $u(t,x{=}0,y)=0$, $u(t,x,y{=}0)=0$; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Явная схема (двумерное уравнение 1-го порядка) · все блок-схемы →

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике

Задача 11.2

$$\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial u}{\partial y} + 5t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = t \\ u(t, x, y=1) = t + x \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Уравнение содержит только первые производные по $t,x,y$ — это многомерное уравнение в частных производных 1-го порядка. Перенесём все конвективные члены влево, приведя к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+v_2\dfrac{\partial u}{\partial y}=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-3\frac{\partial u}{\partial x}-4\frac{\partial u}{\partial y}=5t $$

Скорости переноса: $v_1=-3$, $v_2=-4$; свободный член $f=5t$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

Для уравнения 1-го порядка по каждой координате ставится одно ГУ — на той границе, через которую поток «входит» в область (правило выбора разности против потока, семинар 6):

по $x$: $v_1=-3$ отрицательна — правая разность, ГУ на границе u(t,x{=}1,y)=t+y;
по $y$: $v_2=-4$ отрицательна — правая разность, ГУ на границе u(t,x,y{=}1)=t+x.

Из набора в условии выбираем входные ГУ:

$$ u(t,x{=}1,y)=t+y,\qquad u(t,x,y{=}1)=t+x $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y)=xy$.

3. Явная разностная схема

Производную по времени — правой разностью (со слоя $n$ на $n{+}1$), пространственные производные — выбранными односторонними разностями на известном слое $n$:

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h_y}=5\,t^{n} $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ (гармоника $u_{j,k}^{n}=\lambda^{n}e^{i\alpha j}e^{i\beta k}$, вопрос 18) даёт обобщённое по модулям скоростей условие — схема условно устойчива:

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1\,} $$

Подставляя модули: $3\dfrac{\Delta t}{h_x}+4\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1$. Отсюда $\Delta t\le\left(3/h_x+4/h_y\right)^{-1}$.

5. Рекуррентное соотношение

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ явно:

$$ u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j+1,k}^{n}-u_{j,k}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k}^{n}\right)+\Delta t\,5\,t^{n} $$

Внутренние узлы рассчитываются напрямую (СЛАУ не возникает); значения на входных границах — из выбранных ГУ $u(t,x{=}1,y)=t+y$, $u(t,x,y{=}1)=t+x$; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике

Задача 11.3

$$\frac{\partial u}{\partial t} + 0.2\frac{\partial u}{\partial x} = 0.2\frac{\partial u}{\partial y} - 0.4(x+y), \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 1$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 1 \\ u(t, x=1, y) = 1 + ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 1 \\ u(t, x, y=1) = 1 + tx \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Уравнение содержит только первые производные по $t,x,y$ — это многомерное уравнение в частных производных 1-го порядка. Перенесём все конвективные члены влево, приведя к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+v_2\dfrac{\partial u}{\partial y}=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+0{,}2\frac{\partial u}{\partial x}-0{,}2\frac{\partial u}{\partial y}=-0{,}4(x+y) $$

Скорости переноса: $v_1=0{,}2$, $v_2=-0{,}2$; свободный член $f=-0{,}4(x+y)$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

Для уравнения 1-го порядка по каждой координате ставится одно ГУ — на той границе, через которую поток «входит» в область (правило выбора разности против потока, семинар 6):

по $x$: $v_1=0{,}2$ положительна — левая разность, ГУ на границе u(t,x{=}0,y)=1;
по $y$: $v_2=-0{,}2$ отрицательна — правая разность, ГУ на границе u(t,x,y{=}1)=1+tx.

Из набора в условии выбираем входные ГУ:

$$ u(t,x{=}0,y)=1,\qquad u(t,x,y{=}1)=1+tx $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y)=1$.

3. Явная разностная схема

Производную по времени — правой разностью (со слоя $n$ на $n{+}1$), пространственные производные — выбранными односторонними разностями на известном слое $n$:

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j,k}^{n}-u_{j-1,k}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h_y}=-0{,}4\,(x_j+y_k) $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ (гармоника $u_{j,k}^{n}=\lambda^{n}e^{i\alpha j}e^{i\beta k}$, вопрос 18) даёт обобщённое по модулям скоростей условие — схема условно устойчива:

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1\,} $$

Подставляя модули: $0{,}2\dfrac{\Delta t}{h_x}+0{,}2\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1$. Отсюда $\Delta t\le\left(0{,}2/h_x+0{,}2/h_y\right)^{-1}$.

5. Рекуррентное соотношение

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ явно:

$$ u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j,k}^{n}-u_{j-1,k}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k}^{n}\right)+\Delta t\,-0{,}4\,(x_j+y_k) $$

Внутренние узлы рассчитываются напрямую (СЛАУ не возникает); значения на входных границах — из выбранных ГУ $u(t,x{=}0,y)=1$, $u(t,x,y{=}1)=1+tx$; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике

Задача 11.4

$$\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial u}{\partial x} - 5\frac{\partial u}{\partial y} + 3txy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = t \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Уравнение содержит только первые производные по $t,x,y$ — это многомерное уравнение в частных производных 1-го порядка. Перенесём все конвективные члены влево, приведя к стандартному виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+v_2\dfrac{\partial u}{\partial y}=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-6\frac{\partial u}{\partial x}+5\frac{\partial u}{\partial y}=3txy $$

Скорости переноса: $v_1=-6$, $v_2=5$; свободный член $f=3txy$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

Для уравнения 1-го порядка по каждой координате ставится одно ГУ — на той границе, через которую поток «входит» в область (правило выбора разности против потока, семинар 6):

по $x$: $v_1=-6$ отрицательна — правая разность, ГУ на границе u(t,x{=}1,y)=t;
по $y$: $v_2=5$ положительна — левая разность, ГУ на границе u(t,x,y{=}0)=0.

Из набора в условии выбираем входные ГУ:

$$ u(t,x{=}1,y)=t,\qquad u(t,x,y{=}0)=0 $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y)=0$.

3. Явная разностная схема

Производную по времени — правой разностью (со слоя $n$ на $n{+}1$), пространственные производные — выбранными односторонними разностями на известном слое $n$:

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{h_y}=3\,t^{n}x_j y_k $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ (гармоника $u_{j,k}^{n}=\lambda^{n}e^{i\alpha j}e^{i\beta k}$, вопрос 18) даёт обобщённое по модулям скоростей условие — схема условно устойчива:

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1\,} $$

Подставляя модули: $6\dfrac{\Delta t}{h_x}+5\dfrac{\Delta t}{h_y}\le 1$. Отсюда $\Delta t\le\left(6/h_x+5/h_y\right)^{-1}$.

5. Рекуррентное соотношение

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ явно:

$$ u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j+1,k}^{n}-u_{j,k}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k}^{n}-u_{j,k-1}^{n}\right)+\Delta t\,3\,t^{n}x_j y_k $$

Внутренние узлы рассчитываются напрямую (СЛАУ не возникает); значения на входных границах — из выбранных ГУ $u(t,x{=}1,y)=t$, $u(t,x,y{=}0)=0$; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике

Задача 11.5

$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial z} - txyz, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные по $t,x,y,z$ — трёхмерное УрЧП 1-го порядка. Переносим конвективные члены влево к виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y+v_3 u_z=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}-4\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=-txyz $$

Скорости: $v_1=3$, $v_2=-4$, $v_3=1$; свободный член $f=-txyz$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

По каждой координате — одно ГУ на входной границе (правило «против потока»):

$x$: $v_1=3$ положительна → левая разность, ГУ на u(t,x{=}0,y,z)=0;
$y$: $v_2=-4$ отрицательна → правая разность, ГУ на u(t,x,y{=}1,z)=txz;
$z$: $v_3=1$ положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y,z{=}0)=0.

$$ u(t,x{=}0,y,z)=0,\quad u(t,x,y{=}1,z)=txz,\quad u(t,x,y,z{=}0)=0 $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y,z)=0$.

3. Явная разностная схема

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n}-u_{j-1,k,m}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n}-u_{j,k,m}^{n}}{h_y}+v_3\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k,m-1}^{n}}{h_z}=-t^{n}x_j y_k z_m $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k,m}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y,h_z)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ даёт обобщённое условие (условная устойчивость):

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}+|v_3|\dfrac{\Delta t}{h_z}\le 1\,} $$

То есть $3\dfrac{\Delta t}{h_x}+4\dfrac{\Delta t}{h_y}+1\dfrac{\Delta t}{h_z}\le 1$.

5. Рекуррентное соотношение

$$ u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j,k,m}^{n}-u_{j-1,k,m}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k+1,m}^{n}-u_{j,k,m}^{n}\right)-v_3\dfrac{\Delta t}{h_z}\left(u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k,m-1}^{n}\right)+\Delta t\,-t^{n}x_j y_k z_m $$

Внутренние узлы — напрямую; границы — из выбранных входных ГУ; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике

Задача 11.6

$$\frac{\partial u}{\partial t} - 2\frac{\partial u}{\partial z} = 7\frac{\partial u}{\partial x} - 5\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$

$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$

Решение

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные по $t,x,y,z$ — трёхмерное УрЧП 1-го порядка. Переносим конвективные члены влево к виду $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y+v_3 u_z=f$:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-7\frac{\partial u}{\partial x}+5\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}=0 $$

Скорости: $v_1=-7$, $v_2=5$, $v_3=2$; свободный член $f=0$.

2. Выбор граничных условий (по знаку скоростей)

По каждой координате — одно ГУ на входной границе (правило «против потока»):

$x$: $v_1=-7$ отрицательна → правая разность, ГУ на u(t,x{=}1,y,z)=tyz;
$y$: $v_2=5$ положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y{=}0,z)=0;
$z$: $v_3=2$ положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y,z{=}0)=0.

$$ u(t,x{=}1,y,z)=tyz,\quad u(t,x,y{=}0,z)=0,\quad u(t,x,y,z{=}0)=0 $$

Начальное условие: $u(t{=}0,x,y,z)=0$.

3. Явная разностная схема

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n}-u_{j,k,m}^{n}}{h_x}+v_2\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k-1,m}^{n}}{h_y}+v_3\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k,m-1}^{n}}{h_z}=0 $$

Единственное неизвестное — $u_{j,k,m}^{n+1}$. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x,h_y,h_z)$.

4. Условие устойчивости на шаг

Спектральный анализ даёт обобщённое условие (условная устойчивость):

$$ \boxed{\,|v_1|\dfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\dfrac{\Delta t}{h_y}+|v_3|\dfrac{\Delta t}{h_z}\le 1\,} $$

То есть $7\dfrac{\Delta t}{h_x}+5\dfrac{\Delta t}{h_y}+2\dfrac{\Delta t}{h_z}\le 1$.

5. Рекуррентное соотношение

$$ u_{j,k,m}^{n+1}=u_{j,k,m}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\left(u_{j+1,k,m}^{n}-u_{j,k,m}^{n}\right)-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\left(u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k-1,m}^{n}\right)-v_3\dfrac{\Delta t}{h_z}\left(u_{j,k,m}^{n}-u_{j,k,m-1}^{n}\right)+\Delta t\,0 $$

Внутренние узлы — напрямую; границы — из выбранных входных ГУ; начальный слой — из НУ.

Блок-схема алгоритма

Метод (подробнее):

Разбор вопроса 18 Семинар 6

↑ к разделу 11 в задачнике