Раздел 20. **20.** Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы Кранка–Николсона. Проверить сходимость прогонки. Записать итерационное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Найти $u_N$. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

Переносим так, чтобы $\dfrac{d^2u}{dx^2}$ стояла справа с плюсом: $\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{du}{dx}=e^x\ \Rightarrow\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d^2u}{dx^2}-e^x$.

Итого: $v=1$, $\sigma=1$, $f(x_j)=-e^{x_j}$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+1\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=1\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=1$ левая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+-e^{x_j},$$

где $v=1$, $\sigma=1$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=1$):

$$a_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=1$, $\sigma_j=1$, $f(x_j)=-e^{x_j}$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=1\,u(x{=}0)+1$. Аппроксимация: $\dfrac{u_2^{n+1}-u_1^{n+1}}{h}=1\,u_1^{n+1}+1\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=\dfrac{u_2^{n+1}-h\cdot1}{1+h\cdot1}$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=\frac{1}{1+h\cdot1},\qquad \beta_1=-\frac{h\cdot1}{1+h\cdot1}.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 2-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}1)=2e$. Аппроксимация $\dfrac{u_N^{n+1}-u_{N-1}^{n+1}}{h}=2e$ и подстановка $u_{N-1}^{n+1}=\alpha_{N-1}u_N^{n+1}+\beta_{N-1}$ дают:

$$u_N^{n+1}=\frac{h\cdot2e+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}}.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=-e^{x_j}$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

Уже в нужном виде: $2\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d^2u}{dx^2}+u$. Здесь $v=2$, $\sigma=1$; член $+u$ соответствует $-ku$ при $k=-1$ (реакционный член переносим в свободный, беря его на известном слое $n$).

Итого: $v=2$, $\sigma=1$, $f(x_j)=u_j^{n}\ \text{(член }+u\text{, берётся на слое }n)$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+2\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=1\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=2$ левая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+u_j^{n}\ \text{(член }+u\text{, берётся на слое }n),$$

где $v=2$, $\sigma=1$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=1$):

$$a_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=2$, $\sigma_j=1$, $f(x_j)=u_j^{n}\ \text{(член }+u\text{, берётся на слое }n)$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 2-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=1$. Аппроксимация правой разностью: $\dfrac{u_{2}^{n+1}-u_{1}^{n+1}}{h}=1\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=u_2^{n+1}-h\cdot1$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=1,\qquad \beta_1=-h\cdot1.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}1)=2\,u(x{=}1)+0$. Аппроксимация $\dfrac{u_N^{n+1}-u_{N-1}^{n+1}}{h}=2\,u_N^{n+1}+0$ и подстановка $u_{N-1}^{n+1}=\alpha_{N-1}u_N^{n+1}+\beta_{N-1}$ дают:

$$u_N^{n+1}=\frac{h\cdot0+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h\cdot2}.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=u_j^{n}\ \text{(член }+u\text{, берётся на слое }n)$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

Чтобы получить $\sigma>0$ перед $\dfrac{d^2u}{dx^2}$ справа, умножаем уравнение на $-1$: $-\dfrac{du}{dx}-\dfrac{d^2u}{dx^2}-2x=0\ \Rightarrow\ -\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d^2u}{dx^2}+2x$. Значит $v=-1$, $\sigma=1$, $f=2x$. Так как $v<0$, для $\partial u/\partial x$ берут правую разность $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$.

Итого: $v=-1$, $\sigma=1$, $f(x_j)=2x_j$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+-1\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=1\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=-1$ $v<0$ — правая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_{j}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}}{h}=\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+2x_j,$$

где $v=-1$, $\sigma=1$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=1$):

$$a_{j}=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=-1$, $\sigma_j=1$, $f(x_j)=2x_j$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 2-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=2$. Аппроксимация правой разностью: $\dfrac{u_{2}^{n+1}-u_{1}^{n+1}}{h}=2\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=u_2^{n+1}-h\cdot2$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=1,\qquad \beta_1=-h\cdot2.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 2-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}1)=0$. Аппроксимация $\dfrac{u_N^{n+1}-u_{N-1}^{n+1}}{h}=0$ и подстановка $u_{N-1}^{n+1}=\alpha_{N-1}u_N^{n+1}+\beta_{N-1}$ дают:

$$u_N^{n+1}=\frac{h\cdot0+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}}.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=2x_j$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

$x\dfrac{d^2u}{dx^2}-\dfrac{du}{dx}=3x^2\ \Rightarrow\ \dfrac{du}{dx}=x\dfrac{d^2u}{dx^2}-3x^2$. Здесь $v=1$, $\sigma(x)=x>0$ на $(0,1]$ (переменный коэффициент: $\sigma_j=x_j$), $f=-3x^2$.

Итого: $v=1$, $\sigma=x$, $f(x_j)=-3x_j^2$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+1\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=x\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=1$ левая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+-3x_j^2,$$

где $v=1$, $\sigma=x$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=x$):

$$a_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=1$, $\sigma_j=x$, $f(x_j)=-3x_j^2$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 2-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=0$. Аппроксимация правой разностью: $\dfrac{u_{2}^{n+1}-u_{1}^{n+1}}{h}=0\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=u_2^{n+1}-h\cdot0$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=1,\qquad \beta_1=-h\cdot0.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}1)=2\,u(x{=}1)+1$. Аппроксимация $\dfrac{u_N^{n+1}-u_{N-1}^{n+1}}{h}=2\,u_N^{n+1}+1$ и подстановка $u_{N-1}^{n+1}=\alpha_{N-1}u_N^{n+1}+\beta_{N-1}$ дают:

$$u_N^{n+1}=\frac{h\cdot1+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h\cdot2}.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=-3x_j^2$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

$2\dfrac{du}{dx}-2=x\dfrac{d^2u}{dx^2}\ \Rightarrow\ 2\dfrac{du}{dx}=x\dfrac{d^2u}{dx^2}+2$. Здесь $v=2$, $\sigma(x)=x>0$ ($\sigma_j=x_j$), $f=2$.

Итого: $v=2$, $\sigma=x$, $f(x_j)=2$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+2\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=x\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=2$ левая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+2,$$

где $v=2$, $\sigma=x$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=x$):

$$a_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=2$, $\sigma_j=x$, $f(x_j)=2$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=3\,u(x{=}0)+1$. Аппроксимация: $\dfrac{u_2^{n+1}-u_1^{n+1}}{h}=3\,u_1^{n+1}+1\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=\dfrac{u_2^{n+1}-h\cdot1}{1+h\cdot3}$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=\frac{1}{1+h\cdot3},\qquad \beta_1=-\frac{h\cdot1}{1+h\cdot3}.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 1-го рода $u(x{=}1)=2$ задаёт решение на правой границе напрямую:

$$u_N^{n+1}=2.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=2$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.

Идея метода установления

Дано ОДУ 2-го порядка. Приводим его к стандартному виду курса (вторая производная — в правой части с положительным коэффициентом $\sigma>0$, первая производная — в левой части):

$$v\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^{2}u}{dx^{2}}-ku+f(x).$$

Так как метод прогонки для такой стационарной задачи (при $k=0$) напрямую неприменим, вводим фиктивную производную по времени (в левую часть, со знаком плюс) — превращаем стационарную задачу в нестационарную параболическую:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}+v\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}=\sigma\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}-k\widetilde u+f(x),\qquad u(x)\to\widetilde u(x,t).$$

Граничные условия берутся из исходной (стационарной) задачи и от времени не зависят, поэтому при $t\to\infty$ производная по времени стремится к нулю, а решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,t)\to u(x)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс; переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й — итерация, $\Delta t$ — шаг итерации.

Схема Кранка-Николсона

Для нестационарного уравнения записываем схему Кранка-Николсона — полусумму явной (слой $n$) и неявной (слой $n{+}1$) аппроксимаций пространственных операторов; производная по времени — центральная разность относительно $(n{+}1/2)$:

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+f(x_j).$$

(При $v<0$ для аппроксимации $\partial u/\partial x$ берут правую конечную разность.) Схема абсолютно устойчива, шаг итерации произволен; порядок аппроксимации $O(\Delta t^{2},h)$, поэтому для той же точности годится более грубый шаг, чем у неявной схемы, и итераций нужно меньше: $n<1/h$.

Приведение к прогоночному виду

Собирая неизвестные слоя $(n{+}1)$, получаем трёхдиагональную систему $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ с коэффициентами

$$a_{j}=-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$ $$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j).$$

Сходимость прогонки

Достаточное условие $|b_j|\ge|a_j|+|c_j|$ выполнено благодаря единице в $b_j$:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

Прогоночное соотношение, α₁, β₁, u_N

Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j$, коэффициенты считаются прямым ходом слева направо по $$\alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\qquad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},$$ а $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N$ — из граничных условий (см. ниже для конкретной задачи). Обратным ходом справа налево находят $u_j^{n+1}$.

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)$. Итерации продолжают, пока $$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

---

1. Приведение к стандартному виду $v\,u'=\sigma\,u''+f$

$\dfrac{du}{dx}-x\dfrac{d^2u}{dx^2}=2\ \Rightarrow\ \dfrac{du}{dx}=x\dfrac{d^2u}{dx^2}+2$. Здесь $v=1$, $\sigma(x)=x>0$ ($\sigma_j=x_j$), $f=2$.

Итого: $v=1$, $\sigma=x$, $f(x_j)=2$.

2. Фиктивная производная и схема Кранка-Николсона

Вводим фиктивную производную по времени: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}+1\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial x}=x\dfrac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+f(x)$, $u(x)\to\widetilde u(x,t)$. Записываем схему Кранка-Николсона (при $v=1$ левая разность для $\partial u/\partial x$):

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\Delta t}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}+\frac{v}{2}\frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}+\frac{x_j}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}+2,$$

где $v=1$, $\sigma=x$ подставлены численно.

3. Прогоночный вид и коэффициенты

Собирая слой $(n{+}1)$ в $a_j u_{j+1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j-1}^{n+1}=\xi_j^{n}$ (с $\sigma_j=x$):

$$a_{j}=-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad b_{j}=1+\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}+\sigma_j\frac{\Delta t}{h^{2}},\quad c_{j}=-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}-\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}},$$$$\xi_{j}^{n}=u_{j}^{n}+\frac{\sigma_j}{2}\frac{\Delta t}{h^{2}}\bigl(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\bigr)-\frac{v}{2}\frac{\Delta t}{h}\bigl(u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}\bigr)+\Delta t\,f(x_j),$$

где $v=1$, $\sigma_j=x$, $f(x_j)=2$.

4. Проверка сходимости прогонки

Единица в $b_j$ обеспечивает диагональное преобладание, поэтому $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено:

$$|a_{j}|+|c_{j}|=\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}<1+\frac{|v|}{2}\frac{\Delta t}{h}+\frac{\sigma_j\Delta t}{h^{2}}=|b_{j}|.$$

5. Итерационное (прогоночное) соотношение

$$u_j^{n+1}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1}+\beta_j,\qquad \alpha_{j}=-\frac{a_{j}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}},\quad \beta_{j}=\frac{\xi_{j}^{n}-c_{j}\beta_{j-1}}{b_{j}+c_{j}\alpha_{j-1}}.$$

6. Коэффициенты $\alpha_1,\beta_1$ (левое ГУ)

Левое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}0)=4\,u(x{=}0)+2$. Аппроксимация: $\dfrac{u_2^{n+1}-u_1^{n+1}}{h}=4\,u_1^{n+1}+2\ \Rightarrow\ u_1^{n+1}=\dfrac{u_2^{n+1}-h\cdot2}{1+h\cdot4}$. Сравнивая с $u_1^{n+1}=\alpha_1 u_2^{n+1}+\beta_1$:

$$\alpha_1=\frac{1}{1+h\cdot4},\qquad \beta_1=-\frac{h\cdot2}{1+h\cdot4}.$$

7. Решение на правой границе $u_N$

Правое ГУ 3-го рода $\dfrac{du}{dx}(x{=}1)=1\,u(x{=}1)+-1$. Аппроксимация $\dfrac{u_N^{n+1}-u_{N-1}^{n+1}}{h}=1\,u_N^{n+1}+-1$ и подстановка $u_{N-1}^{n+1}=\alpha_{N-1}u_N^{n+1}+\beta_{N-1}$ дают:

$$u_N^{n+1}=\frac{h\cdot-1+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h\cdot1}.$$

8. Начальное приближение и условие окончания

Нулевая итерация — свободный член: $u_j^{0}=f(x_j)=2$. Итерации продолжают, пока

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_j^{n+1}-u_j^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

9. Алгоритм

(1) задать $u_j^{0}=f(x_j)$; (2) на каждой итерации вычислить $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, прямым ходом $j=2,\dots,N-1$ — коэффициенты по формулам (5); (3) найти $u_N^{n+1}$ из правого ГУ; (4) обратным ходом $j=N-1,\dots,1$ найти $u_j^{n+1}$; (5) проверить условие окончания; если не выполнено — следующая итерация.