Раздел 8. **8.** Записать для уравнения схему расщепления. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Для тех подсхем, которые решаются методом прогонки: привести к виду, удобному для использования метода прогонки; проверить сходимость прогонки; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Указать порядок аппроксимации схемы

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}=0{,}7\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+1,\qquad u=u(t,x,y),\qquad u(0,x,y)=xy.$$

Граничные условия: $u(t,0,y)=t,\; u(t,1,y)=t+y$ (1-го рода по $x$); $\dfrac{\partial u}{\partial y}(t,x,0)=x,\;\dfrac{\partial u}{\partial y}(t,x,1)=x$ (2-го рода по $y$). Здесь $\sigma=0{,}7$, первых производных по координатам нет.

Схема расщепления

Делим $\Delta t$ пополам (точка $t^{n+1/2}$). Первая подсхема (неявная по $x$), вторая (неявная по $y$); свободный член $+1$ относим в первую:

$$\textcircled{1}\quad \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=0{,}7\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}+1$$

$$\textcircled{2}\quad \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=0{,}7\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}$$

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

Приводим к трёхдиагональному виду $a_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+b_j u_{j,k}^{n+1/2}+c_j u_{j-1,k}^{n+1/2}=\xi_j$:

$$-\frac{0{,}7\Delta t}{h_x^2}\,u_{j+1,k}^{n+1/2}+\Bigl(1+\frac{1{,}4\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{0{,}7\Delta t}{h_x^2}\,u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}+\Delta t.$$

$$a_j=c_j=-\frac{0{,}7\Delta t}{h_x^2},\quad b_j=1+\frac{1{,}4\Delta t}{h_x^2},\quad \xi_{j,k}^n=u_{j,k}^n+\Delta t.$$

Сходимость прогонки: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{1{,}4\Delta t}{h_x^2}<1+\dfrac{1{,}4\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$ — диагональное преобладание выполнено. $\checkmark$

Рекуррентное соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$, где $\alpha_j=-\dfrac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}},\;\beta_j=\dfrac{\xi_{j,k}^n-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}$.

$\alpha_1,\beta_1$ (ЛГУ 1-го рода по $x$): $u_{1,k}^{n+1/2}=(n+\tfrac12)\Delta t$ — значение задано, прогоночный коэффициент не нужен, фактически $\alpha_1=0,\;\beta_1=(n+\tfrac12)\Delta t$.

Правая граница: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=(n+\tfrac12)\Delta t+(k-1)h_y$ (из условия $u(t,1,y)=t+y$). Внешний цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (прогонка по $y$)

$$-\frac{0{,}7\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k+1}^{n+1}+\Bigl(1+\frac{1{,}4\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1}-\frac{0{,}7\Delta t}{h_y^2}\,u_{j,k-1}^{n+1}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

$$\tilde a_k=\tilde c_k=-\frac{0{,}7\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde b_k=1+\frac{1{,}4\Delta t}{h_y^2},\quad \tilde\xi_{j,k}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{1{,}4\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$. $\checkmark$ Соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\tilde\beta_k$.

$\tilde\alpha_1,\tilde\beta_1$ (ЛГУ 2-го рода по $y$): $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=x_j=(j-1)h_x\Rightarrow u_{j,1}^{n+1}=u_{j,2}^{n+1}-(j-1)h_x h_y$, откуда $\tilde\alpha_1=1,\;\tilde\beta_1=-(j-1)h_x h_y$.

Правая граница (2-го рода по $y$): $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=(j-1)h_x$, $u_{j,N_y-1}^{n+1}=\tilde\alpha_{N_y-1}u_{j,N_y}^{n+1}+\tilde\beta_{N_y-1}$, отсюда $$u_{j,N_y}^{n+1}=\frac{\tilde\beta_{N_y-1}+(j-1)h_x h_y}{1-\tilde\alpha_{N_y-1}}.$$

Внешний цикл $j=2,\dots,N_x-1$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y^2\right).$$ Обе подсхемы абсолютно устойчивы; результат подсхемы 2 — значения на $(n+1)$-м слое.

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}-2\frac{\partial u}{\partial y}=t\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-t,\qquad u(0,x,y)=-xy.$$

Коэффициенты при первых производных: $v_1=+1>0$ (для $\partial u/\partial x$ — левая разность), $v_2=-2<0$ (для $\partial u/\partial y$ — правая разность). $\sigma_x=t,\ \sigma_y=3$. ГУ: $u_x(t,0,y)=t$ (2-го рода слева по $x$), $u(t,1,y)=2t-y$ (1-го рода справа по $x$); $u_y(t,x,0)=t$ (2-го рода снизу по $y$), $u(t,x,1)=2t-x$ (1-го рода сверху по $y$).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=t\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}-t$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}-2\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=3\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}$$

(в $\textcircled{2}$ для $-2u_y$ взята правая разность; свободный член $-t$ учтён в $\textcircled{1}$; $t=t^n$).

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

$$\underbrace{-\frac{t\Delta t}{h_x^2}}_{a_j}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{\Delta t}{h_x}+\frac{2t\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{b_j}u_{j,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(-\frac{\Delta t}{h_x}-\frac{t\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{c_j}u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}-t\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{2t\Delta t}{h_x^2}+\dfrac{\Delta t}{h_x}<1+\dfrac{\Delta t}{h_x}+\dfrac{2t\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$ (при $t>0$). $\checkmark$

$u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$. $\alpha_1,\beta_1$ (2-го рода слева по $x$): $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=t\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=u_{2,k}^{n+1/2}-t h_x$, т.е. $\alpha_1=1,\ \beta_1=-t h_x$ (с $t=(n+\tfrac12)\Delta t$).

Правая граница (1-го рода по $x$): $u_{N_x,k}^{n+1/2}=2(n+\tfrac12)\Delta t-(k-1)h_y$. Цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (прогонка по $y$)

$$\underbrace{\Bigl(-\frac{2\Delta t}{h_y}-\frac{3\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde a_k}u_{j,k+1}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{2\Delta t}{h_y}+\frac{6\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde b_k}u_{j,k}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(-\frac{3\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde c_k}u_{j,k-1}^{n+1}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{2\Delta t}{h_y}+\dfrac{6\Delta t}{h_y^2}<1+\dfrac{2\Delta t}{h_y}+\dfrac{6\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k|$. $\checkmark$

Так как $v_2<0$, прогонку ведём в обратную сторону ($k=N_y-1,\dots,1$) с соотношением $u_{j,k}^{n+1}=\tilde\alpha_k u_{j,k-1}^{n+1}+\tilde\beta_k$, а опорное условие — верхнее (1-го рода): $u_{j,N_y}^{n+1}=2(n+1)\Delta t-(j-1)h_x$.

$\tilde\alpha,\tilde\beta$ у правой (верхней) границы стартуют от заданного $u_{j,N_y}^{n+1}$; нижнее условие 2-го рода $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=t$ даёт замыкание $u_{j,1}^{n+1}=\dfrac{\tilde\beta_{2}-t h_y}{1-\tilde\alpha_{2}}$ (значение на нижней границе $y=0$). Цикл $j=2,\dots,N_x-1$.

Порядок аппроксимации

Первые производные аппроксимированы односторонними разностями ($O(h)$): $$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y\right).$$

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+0{,}5\frac{\partial u}{\partial y}+2uy,\qquad u(0,x,y)=2x,\quad u(t,x,1)=t+2x.$$

Перенесём первую производную: $\dfrac{\partial u}{\partial t}-0{,}5\dfrac{\partial u}{\partial y}=2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2uy$. По $x$ есть вторая производная ($\sigma_x=2$) — прогонка; по $y$ только первая производная с $v_2=-0{,}5<0$ (правая разность) — рекуррентное соотношение. Реакционный член $2uy$ линеаризуем на известном слое. ГУ по $x$: $u_x(t,0,y)=u(t,0,y)$ (3-го рода слева), $u(t,1,y)=ty+2$ (1-го рода справа).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}+2u_{j,k}^{n}y_k$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}-0{,}5\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=0$$

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

$$-\frac{2\Delta t}{h_x^2}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\Bigl(1+\frac{4\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{2\Delta t}{h_x^2}u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}+2\Delta t\,y_k\,u_{j,k}^{n}.$$

$a_j=c_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{4\Delta t}{h_x^2},\ \xi_{j,k}^n=u_{j,k}^n(1+2\Delta t\,y_k)$. Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$. $\checkmark$

$u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$. $\alpha_1,\beta_1$ (3-го рода слева по $x$): $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{1,k}^{n+1/2}\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}}{1+h_x}$, откуда $\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_x},\ \beta_1=0$.

Правая граница (1-го рода): $u_{N_x,k}^{n+1/2}=(n+\tfrac12)\Delta t\,y_k+2$. Цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (рекуррентное соотношение по $y$)

Подсхема $\textcircled{2}$ содержит лишь первую производную по $y$ — прогонка не нужна. Так как $v_2<0$, правая разность связывает $u_{j,k}^{n+1}$ с $u_{j,k+1}^{n+1}$, поэтому вычисляем «сверху вниз», от заданной границы $y=1$:

$$u_{j,k}^{n+1}\Bigl(1+\frac{0{,}5\Delta t}{h_y}\Bigr)=u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{0{,}5\Delta t}{h_y}u_{j,k+1}^{n+1}\;\Rightarrow\;u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{0{,}5\Delta t}{h_y}u_{j,k+1}^{n+1}}{1+\frac{0{,}5\Delta t}{h_y}},$$

цикл $k=N_y-1,\dots,1$; стартовое значение $u_{j,N_y}^{n+1}=(n+1)\Delta t+2x_j$ (из $u(t,x,1)=t+2x$). Абсолютно устойчива.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y\right).$$

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}+5\frac{\partial u}{\partial y}=6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-tu^2,\qquad u(0,x,y)=xy.$$

$v_1=0$ (по $x$ только вторая производная, $\sigma_x=6$), $v_2=+5>0$ (по $y$ — левая разность, $\sigma_y=2$). Нелинейный сток $-tu^2$ линеаризуем: $-tu^2\approx -t\,u_{j,k}^{n}\,u_{j,k}^{(\text{нов.})}$ (или явно $-t(u_{j,k}^n)^2$). ГУ по $x$: $u(t,0,y)=0,\ u(t,1,y)=t+y$ (1-го рода). По $y$: $u_y(t,x,0)=tx$ (2-го рода), $u_y(t,x,1)=2t\,u(t,x,1)$ (3-го рода).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=6\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}-t\,(u_{j,k}^{n})^2$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+5\,\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=2\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}$$

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

$$-\frac{6\Delta t}{h_x^2}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\Bigl(1+\frac{12\Delta t}{h_x^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{6\Delta t}{h_x^2}u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}-t\Delta t(u_{j,k}^{n})^2.$$

$|a_j|+|c_j|=\dfrac{12\Delta t}{h_x^2}<|b_j|=1+\dfrac{12\Delta t}{h_x^2}$. $\checkmark$ $\alpha_1,\beta_1$ (1-го рода): $u_{1,k}^{n+1/2}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\ \beta_1=0$. Правая граница: $u_{N_x,k}^{n+1/2}=(n+\tfrac12)\Delta t+(k-1)h_y$. Цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (прогонка по $y$)

$$\underbrace{-\frac{2\Delta t}{h_y^2}}_{\tilde a_k}u_{j,k+1}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{5\Delta t}{h_y}+\frac{4\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde b_k}u_{j,k}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(-\frac{5\Delta t}{h_y}-\frac{2\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde c_k}u_{j,k-1}^{n+1}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{5\Delta t}{h_y}+\dfrac{4\Delta t}{h_y^2}<1+\dfrac{5\Delta t}{h_y}+\dfrac{4\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k|$. $\checkmark$ $u_{j,k}^{n+1}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\tilde\beta_k$.

$\tilde\alpha_1,\tilde\beta_1$ (2-го рода снизу по $y$): $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=t x_j\Rightarrow u_{j,1}^{n+1}=u_{j,2}^{n+1}-t x_j h_y$, т.е. $\tilde\alpha_1=1,\ \tilde\beta_1=-(n+1)\Delta t\,(j-1)h_x\,h_y$.

Правая граница (3-го рода сверху по $y$): $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=2t\,u_{j,N_y}^{n+1}$, $u_{j,N_y-1}^{n+1}=\tilde\alpha_{N_y-1}u_{j,N_y}^{n+1}+\tilde\beta_{N_y-1}$: $$u_{j,N_y}^{n+1}=\frac{\tilde\beta_{N_y-1}}{1-\tilde\alpha_{N_y-1}-2t h_y}\quad(t=(n+1)\Delta t).$$ Цикл $j=2,\dots,N_x-1$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y\right)$$ (по $y$ есть односторонняя разность для $5u_y$).

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial u}{\partial y}+0{,}8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\qquad u(0,x,y)=xy,\quad u(t,0,y)=0.$$

Запишем в каноническом виде: $\dfrac{\partial u}{\partial t}+3\dfrac{\partial u}{\partial x}-2\dfrac{\partial u}{\partial y}=0{,}8\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$. По $x$ только первая производная, $v_1=+3>0$ (левая разность) — рекуррентное соотношение. По $y$ вторая производная $\sigma_y=0{,}8$ плюс первая с $v_2=-2<0$ (правая разность) — прогонка. ГУ: $u(t,0,y)=0$ (1-го рода слева по $x$, опорное для рекуррентного хода); $u_y(t,x,0)=0,\ u_y(t,x,1)=0$ (2-го рода по $y$).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+3\,\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=0$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}-2\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=0{,}8\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}$$

Подсхема 1 (рекуррентное соотношение по $x$)

Только первая производная по $x$, $v_1>0$ — левая разность, ход $j=2,\dots,N_x-1$ от заданной левой границы:

$$u_{j,k}^{n+1/2}=\frac{u_{j,k}^{n}+\frac{3\Delta t}{h_x}u_{j-1,k}^{n+1/2}}{1+\frac{3\Delta t}{h_x}},\qquad u_{1,k}^{n+1/2}=0.$$

Абсолютно устойчива (аналог одномерной неявной схемы 1-го порядка).

Подсхема 2 (прогонка по $y$)

$$\underbrace{\Bigl(-\frac{2\Delta t}{h_y}-\frac{0{,}8\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde a_k}u_{j,k+1}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{2\Delta t}{h_y}+\frac{1{,}6\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde b_k}u_{j,k}^{n+1}+\underbrace{\Bigl(-\frac{0{,}8\Delta t}{h_y^2}\Bigr)}_{\tilde c_k}u_{j,k-1}^{n+1}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{2\Delta t}{h_y}+\dfrac{1{,}6\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$. $\checkmark$ Так как $v_2<0$, ход $k=N_y-1,\dots,1$, соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\tilde\alpha_k u_{j,k-1}^{n+1}+\tilde\beta_k$, опорное — верхнее условие 2-го рода.

Замыкание у $y=1$ (2-го рода): $\dfrac{u_{j,N_y}^{n+1}-u_{j,N_y-1}^{n+1}}{h_y}=0\Rightarrow u_{j,N_y}^{n+1}=u_{j,N_y-1}^{n+1}$, что даёт стартовые $\tilde\alpha_{N_y-1}=1,\ \tilde\beta_{N_y-1}=0$ для обратного хода. Нижнее условие 2-го рода $\dfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=0$ замыкает: $u_{j,1}^{n+1}=\dfrac{\tilde\beta_2}{1-\tilde\alpha_2}$. Цикл $j=2,\dots,N_x-1$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y\right).$$

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial x}=y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-tu,\qquad u(0,x,y)=0.$$

По $x$: $v_1=-1<0$ (правая разность), $\sigma_x=y$ — прогонка. По $y$: вторая производная $\sigma_y=x$ — прогонка. Линейный сток $-tu$ берём неявно (отнесём в $\textcircled{1}$). ГУ: $u(t,x,0)=0,\ u(t,x,1)=tx$ (1-го рода по $y$); $u_x(t,0,y)=u(t,0,y)-2t,\ u_x(t,1,y)=u(t,1,y)-2t$ (3-го рода по $x$).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}-\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/2}}{h_x}=y_k\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}-t\,u_{j,k}^{n+1/2}$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=x_j\,\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}$$

(в $\textcircled{1}$ $-u_x$ имеет $v_1<0$ — правая разность; $t=(n+\tfrac12)\Delta t$, $y_k=(k-1)h_y$, $x_j=(j-1)h_x$).

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

$$\underbrace{\Bigl(-\frac{\Delta t}{h_x}-\frac{y_k\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{a_j}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{\Delta t}{h_x}+\frac{2y_k\Delta t}{h_x^2}+t\Delta t\Bigr)}_{b_j}u_{j,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(-\frac{y_k\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{c_j}u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}.$$

Сходимость: $a_j<0,\ c_j<0$ безусловно, и $|a_j|+|c_j|=\dfrac{\Delta t}{h_x}+\dfrac{2y_k\Delta t}{h_x^2}<1+\dfrac{\Delta t}{h_x}+\dfrac{2y_k\Delta t}{h_x^2}+t\Delta t=|b_j|$. Слагаемое $+t\Delta t$ от стока дополнительно усиливает преобладание. $\checkmark$

Так как $v_1<0$, ход $j=N_x-1,\dots,1$, соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j-1,k}^{n+1/2}+\beta_j$, опорное — правое условие 3-го рода. Замыкание у $x=1$: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{N_x,k}^{n+1/2}-2t$. С $u_{N_x-1,k}=\alpha_{N_x-1}u_{N_x,k}+\beta_{N_x-1}$ получаем стартовые $\alpha,\beta$ для обратного хода. Левая граница (3-го рода): $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{1,k}^{n+1/2}-2t\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_2+2t h_x}{1-\alpha_2+h_x}$. Цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (прогонка по $y$)

$$-\frac{x_j\Delta t}{h_y^2}u_{j,k+1}^{n+1}+\Bigl(1+\frac{2x_j\Delta t}{h_y^2}\Bigr)u_{j,k}^{n+1}-\frac{x_j\Delta t}{h_y^2}u_{j,k-1}^{n+1}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

$|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{2x_j\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$. $\checkmark$ $u_{j,k}^{n+1}=\tilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\tilde\beta_k$. $\tilde\alpha_1,\tilde\beta_1$ (1-го рода снизу): $u_{j,1}^{n+1}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\ \tilde\beta_1=0$. Правая граница: $u_{j,N_y}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,(j-1)h_x$. Цикл $j=2,\dots,N_x-1$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y^2\right)$$ (по $x$ односторонняя разность для $u_x$).

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t}=6\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-7\frac{\partial u}{\partial y}-tu^3,\qquad u(0,x,y)=0,\quad u(t,x,0)=0.$$

Канонический вид: $\dfrac{\partial u}{\partial t}-6\dfrac{\partial u}{\partial x}+7\dfrac{\partial u}{\partial y}=3\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-tu^3$. По $x$: $v_1=-6<0$ (правая разность), $\sigma_x=3$ — прогонка. По $y$: только первая производная $v_2=+7>0$ (левая разность) — рекуррентное соотношение. Нелинейный сток $-tu^3\approx -t(u_{j,k}^n)^2 u_{j,k}^{n+1/2}$ (заморозка коэффициента), относим в $\textcircled{1}$. ГУ: $u(t,0,y)=0$ (1-го рода слева по $x$), $u_x(t,1,y)=3u(t,1,y)-5t$ (3-го рода справа по $x$); $u(t,x,0)=0$ (1-го рода снизу по $y$, опора рекуррентного хода).

Схема расщепления

$$\textcircled{1}\;\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}-6\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/2}}{h_x}=3\,\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2}-t\,(u_{j,k}^{n})^2 u_{j,k}^{n+1/2}$$

$$\textcircled{2}\;\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+7\,\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=0$$

Подсхема 1 (прогонка по $x$)

Обозначим $q_{j,k}=t(u_{j,k}^n)^2$. Тогда

$$\underbrace{\Bigl(-\frac{6\Delta t}{h_x}-\frac{3\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{a_j}u_{j+1,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(1+\frac{6\Delta t}{h_x}+\frac{6\Delta t}{h_x^2}+q_{j,k}\Delta t\Bigr)}_{b_j}u_{j,k}^{n+1/2}+\underbrace{\Bigl(-\frac{3\Delta t}{h_x^2}\Bigr)}_{c_j}u_{j-1,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{6\Delta t}{h_x}+\dfrac{6\Delta t}{h_x^2}<1+\dfrac{6\Delta t}{h_x}+\dfrac{6\Delta t}{h_x^2}+q_{j,k}\Delta t=|b_j|$. $\checkmark$

$v_1<0$ — ход $j=N_x-1,\dots,1$, $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j-1,k}^{n+1/2}+\beta_j$ (опора — правое условие 3-го рода). Замыкание у $x=1$: $\dfrac{u_{N_x,k}^{n+1/2}-u_{N_x-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=3u_{N_x,k}^{n+1/2}-5t\Rightarrow u_{N_x,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N_x-1}-5t h_x}{1-\alpha_{N_x-1}-3h_x}$. Левая граница (1-го рода): $u_{1,k}^{n+1/2}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\ \beta_1=0$. Цикл $k=2,\dots,N_y-1$.

Подсхема 2 (рекуррентное соотношение по $y$)

Только первая производная, $v_2>0$ — левая разность, ход $k=2,\dots,N_y-1$:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{7\Delta t}{h_y}u_{j,k-1}^{n+1}}{1+\frac{7\Delta t}{h_y}},\qquad u_{j,1}^{n+1}=0.$$

Абсолютно устойчива.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y\right).$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+6\frac{\partial u}{\partial y}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2},\qquad u(0,x,y,z)=0.$$

Все три направления содержат вторые производные ($\sigma_x=2,\sigma_y=3,\sigma_z=5$) — все подсхемы решаются прогонкой. Единственная первая производная $6u_y$: $v_y=+6>0$ — левая разность, относим её во вторую подсхему (по $y$). ГУ 1-го рода по всем границам: $u(t,0,y,z)=0,\ u(t,1,y,z)=tyz$; $u(t,x,0,z)=0,\ u(t,x,1,z)=txz$; $u(t,x,y,0)=0,\ u(t,x,y,1)=txy$.

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$ ($n\to n+1/3$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=2\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}.$$

$a_j=c_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}$; $|a_j|+|c_j|=\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ $\checkmark$. $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1}^{n+1/3}+\beta_j$. ЛГУ 1-го рода: $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=0$. Правая граница $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$. Внешние циклы $k,m$.

Подсхема 2 — прогонка по $y$ ($n+1/3\to n+2/3$), несёт $6u_y$ (левая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}+6\,\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y}=3\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=-\dfrac{3\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{6\Delta t}{h_y}+\dfrac{6\Delta t}{h_y^2},\ \tilde c_k=-\dfrac{6\Delta t}{h_y}-\dfrac{3\Delta t}{h_y^2}$; $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{6\Delta t}{h_y}+\dfrac{6\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ $\checkmark$. ЛГУ 1-го рода: $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\tilde\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$.

Подсхема 3 — прогонка по $z$ ($n+2/3\to n+1$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}=5\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

$\hat a_m=\hat c_m=-\dfrac{5\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{10\Delta t}{h_z^2}$; $|\hat a_m|+|\hat c_m|<|\hat b_m|$ $\checkmark$. ЛГУ: $u_{j,k,1}^{n+1}=0\Rightarrow\hat\alpha_1=0,\hat\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_j y_k$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y,\,h_z^2\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-3\frac{\partial u}{\partial x}-t\frac{\partial u}{\partial z}=7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+9\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-13u,\quad u(0,\dots)=0.$$

$\sigma_x=7,\sigma_y=8,\sigma_z=9$ — все три подсхемы прогоночные. Первые производные: $-3u_x$ ($v_x=-3<0$ — правая разность, в подсхему по $x$); $-t\,u_z$ ($v_z=-t<0$ — правая разность, в подсхему по $z$). Линейный сток $-13u$ берём неявно, относим в подсхему 1. ГУ 1-го рода по всем границам как в 8.8.

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$, несёт $-3u_x$ и $-13u$

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}-3\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=7\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}-13u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

$a_j=-\dfrac{3\Delta t}{h_x}-\dfrac{7\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{3\Delta t}{h_x}+\dfrac{14\Delta t}{h_x^2}+13\Delta t,\ c_j=-\dfrac{7\Delta t}{h_x^2}$; $|a_j|+|c_j|=\dfrac{3\Delta t}{h_x}+\dfrac{14\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ $\checkmark$ ($+13\Delta t$ усиливает). $v_x<0$ — ход $j=N_x-1,\dots,1$, $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j-1}^{n+1/3}+\beta_j$. Правое ЛГУ 1-го рода даёт старт: $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$. Левая граница $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0$, т.е. $\alpha_1=0,\beta_1=0$.

Подсхема 2 — прогонка по $y$ (чистая диффузия)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}=8\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{8\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{16\Delta t}{h_y^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\tilde\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$.

Подсхема 3 — прогонка по $z$, несёт $-t\,u_z$ (правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}-t\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+1}}{h_z}=9\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

$\hat a_m=-\dfrac{t\Delta t}{h_z}-\dfrac{9\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{t\Delta t}{h_z}+\dfrac{18\Delta t}{h_z^2},\ \hat c_m=-\dfrac{9\Delta t}{h_z^2}$; преобладание $\checkmark$ ($t=(n+1)\Delta t>0$). $v_z<0$ — ход $m=N_z-1,\dots,1$, опора — правое условие 1-го рода $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_j y_k$; левая $u_{j,k,1}^{n+1}=0$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y^2,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}-3\frac{\partial u}{\partial y}-z\frac{\partial u}{\partial z}=8xy\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+t^2,\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторая производная только по $z$ ($\sigma_z=8xy$). Поэтому: подсхема по $x$ несёт $+u_x$ ($v_x=+1>0$, левая разность) — рекуррентное соотношение; подсхема по $y$ несёт $-3u_y$ ($v_y=-3<0$, правая разность) — рекуррентное соотношение; подсхема по $z$ несёт $-z\,u_z$ ($v_z=-z<0$, правая разность) и вторую производную — прогонка. Свободный член $t^2$ относим в первую подсхему. ГУ: $u(t,0,y,z)=0$ (опора по $x$); $u(t,x,1,z)=t^2 xz$ (опора по $y$, верхняя); $u(t,x,y,0)=0,\ u(t,x,y,1)=t^2 xy$ (1-го рода по $z$).

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — рекуррентное соотношение по $x$ ($+u_x$, левая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=t^2\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n}+\frac{\Delta t}{h_x}u_{j-1,k,m}^{n+1/3}+t^2\Delta t}{1+\frac{\Delta t}{h_x}},$$

ход $j=2,\dots,N_x-1$, $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0$; $t=(n+\tfrac13)\Delta t$. Абсолютно устойчива.

Подсхема 2 — рекуррентное соотношение по $y$ ($-3u_y$, правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}-3\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{h_y}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+2/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}+\frac{3\Delta t}{h_y}u_{j,k+1,m}^{n+2/3}}{1+\frac{3\Delta t}{h_y}},$$

ход $k=N_y-1,\dots,1$, опора $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)^2\Delta t^2 x_j z_m$ (приближённо $t^2 x z$ на полушаге). Абсолютно устойчива.

Подсхема 3 — прогонка по $z$ ($-z\,u_z$ правая разность + диффузия)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}-z_m\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+1}}{h_z}=8x_jy_k\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

Обозначим $D=8x_jy_k$. $\hat a_m=-\dfrac{z_m\Delta t}{h_z}-\dfrac{D\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{z_m\Delta t}{h_z}+\dfrac{2D\Delta t}{h_z^2},\ \hat c_m=-\dfrac{D\Delta t}{h_z^2}$; $|\hat a_m|+|\hat c_m|<|\hat b_m|$ $\checkmark$. $v_z<0$ — ход $m=N_z-1,\dots,1$, опора $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)^2\Delta t^2 x_jy_k$; левая $u_{j,k,1}^{n+1}=0$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-5\frac{\partial u}{\partial z}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+18\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\qquad u(0,\dots)=0.$$

Вторые производные по $x$ ($\sigma_x=2$) и $y$ ($\sigma_y=18$) — прогонки. По $z$ только первая производная $-5u_z$ ($v_z=-5<0$, правая разность) — рекуррентное соотношение. ГУ: $u(t,0,y,z)=0,\ u(t,1,y,z)=tyz$; $u(t,x,0,z)=0,\ u(t,x,1,z)=txz$; $u(t,x,y,1)=txy$ (задано только верхнее по $z$ — опора для правого хода).

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}=2\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}.$$

$a_j=c_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{4\Delta t}{h_x^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=0$. Правая граница $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$.

Подсхема 2 — прогонка по $y$

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}=18\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{18\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{36\Delta t}{h_y^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\tilde\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$.

Подсхема 3 — рекуррентное соотношение по $z$ ($-5u_z$, правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}-5\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+1}}{h_z}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1}=\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}+\frac{5\Delta t}{h_z}u_{j,k,m+1}^{n+1}}{1+\frac{5\Delta t}{h_z}},$$

ход $m=N_z-1,\dots,1$, опора $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_jy_k$. Абсолютно устойчива.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y^2,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-t\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}+y\frac{\partial u}{\partial z}=z\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x\frac{\partial^2 u}{\partial z^2},\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторые производные по $x$ ($\sigma_x=z$) и $z$ ($\sigma_z=x$) — прогонки; по $y$ второй производной нет. Первые производные: $-t\,u_x$ ($v_x=-t<0$, правая разность, в подсхему $x$); $-u_y$ ($v_y=-1<0$, правая разность, в подсхему $y$ — рекуррентное); $+y\,u_z$ ($v_z=+y>0$, левая разность, в подсхему $z$). ГУ: $u(t,0,y,z)=0,\ u(t,1,y,z)=tyz$; $u(t,x,1,z)=txz$ (опора по $y$, верхняя); $u(t,x,y,0)=0,\ u(t,x,y,1)=txy$.

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$ ($-t\,u_x$ правая разность, $\sigma_x=z$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}-t\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=z_m\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}.$$

$a_j=-\dfrac{t\Delta t}{h_x}-\dfrac{z_m\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{t\Delta t}{h_x}+\dfrac{2z_m\Delta t}{h_x^2},\ c_j=-\dfrac{z_m\Delta t}{h_x^2}$; преобладание $\checkmark$. $v_x<0$ — ход $j=N_x-1,\dots,1$, опора $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$; левая $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0$.

Подсхема 2 — рекуррентное соотношение по $y$ ($-u_y$, правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}-\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{h_y}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+2/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}+\frac{\Delta t}{h_y}u_{j,k+1,m}^{n+2/3}}{1+\frac{\Delta t}{h_y}},$$

ход $k=N_y-1,\dots,1$, опора $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$. Абсолютно устойчива.

Подсхема 3 — прогонка по $z$ ($+y\,u_z$ левая разность, $\sigma_z=x$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}+y_k\,\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=x_j\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

$\hat a_m=-\dfrac{x_j\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{y_k\Delta t}{h_z}+\dfrac{2x_j\Delta t}{h_z^2},\ \hat c_m=-\dfrac{y_k\Delta t}{h_z}-\dfrac{x_j\Delta t}{h_z^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,k,1}^{n+1}=0\Rightarrow\hat\alpha_1=0,\hat\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_jy_k$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-4\frac{\partial u}{\partial x}+11\frac{\partial u}{\partial y}=9\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-3tx,\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторые производные по $y$ ($\sigma_y=9$) и $z$ ($\sigma_z=2$) — прогонки; по $x$ второй производной нет. Первые: $-4u_x$ ($v_x=-4<0$, правая разность, подсхема $x$ — рекуррентное); $+11u_y$ ($v_y=+11>0$, левая разность, в подсхему $y$). Свободный член $-3tx$ относим в первую подсхему. ГУ: $u(t,1,y,z)=tyz$ (опора по $x$, правая); $u(t,x,0,z)=0,\ u(t,x,1,z)=txz$; $u(t,x,y,0)=0,\ u(t,x,y,1)=txy$.

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — рекуррентное соотношение по $x$ ($-4u_x$, правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}-4\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=-3t x_j\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n}+\frac{4\Delta t}{h_x}u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-3t x_j\Delta t}{1+\frac{4\Delta t}{h_x}},$$

ход $j=N_x-1,\dots,1$ (правая разность, $v_x<0$), опора $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$; $t=(n+\tfrac13)\Delta t$. Абсолютно устойчива.

Подсхема 2 — прогонка по $y$ ($+11u_y$ левая разность, $\sigma_y=9$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}+11\,\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y}=9\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=-\dfrac{9\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{11\Delta t}{h_y}+\dfrac{18\Delta t}{h_y^2},\ \tilde c_k=-\dfrac{11\Delta t}{h_y}-\dfrac{9\Delta t}{h_y^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\tilde\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$.

Подсхема 3 — прогонка по $z$ ($\sigma_z=2$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}=2\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

$\hat a_m=\hat c_m=-\dfrac{2\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{4\Delta t}{h_z^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,k,1}^{n+1}=0\Rightarrow\hat\alpha_1=0,\hat\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_jy_k$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y,\,h_z^2\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}-2\frac{\partial u}{\partial y}+9\frac{\partial u}{\partial z}=5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторые производные по $x$ ($\sigma_x=5$) и $y$ ($\sigma_y=7$) — прогонки; по $z$ второй производной нет. Первые: $+u_x$ ($v_x=+1>0$, левая разность, подсхема $x$); $-2u_y$ ($v_y=-2<0$, правая разность, подсхема $y$); $+9u_z$ ($v_z=+9>0$, левая разность, подсхема $z$ — рекуррентное). ГУ: $u(t,0,y,z)=0,\ u(t,1,y,z)=tyz$; $u(t,x,0,z)=0,\ u(t,x,1,z)=txz$; $u(t,x,y,0)=0$ (опора по $z$, нижняя — левая разность).

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$ ($+u_x$ левая разность, $\sigma_x=5$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=5\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}.$$

$a_j=-\dfrac{5\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{\Delta t}{h_x}+\dfrac{10\Delta t}{h_x^2},\ c_j=-\dfrac{\Delta t}{h_x}-\dfrac{5\Delta t}{h_x^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=0$. Правая граница $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$.

Подсхема 2 — прогонка по $y$ ($-2u_y$ правая разность, $\sigma_y=7$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}-2\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{h_y}=7\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=-\dfrac{2\Delta t}{h_y}-\dfrac{7\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{2\Delta t}{h_y}+\dfrac{14\Delta t}{h_y^2},\ \tilde c_k=-\dfrac{7\Delta t}{h_y^2}$; преобладание $\checkmark$. $v_y<0$ — ход $k=N_y-1,\dots,1$, опора $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$; нижняя $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0$.

Подсхема 3 — рекуррентное соотношение по $z$ ($+9u_z$, левая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}+9\,\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1}=\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}+\frac{9\Delta t}{h_z}u_{j,k,m-1}^{n+1}}{1+\frac{9\Delta t}{h_z}},$$

ход $m=2,\dots,N_z-1$, опора $u_{j,k,1}^{n+1}=0$. Абсолютно устойчива.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y^2,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}-2\frac{\partial u}{\partial x}+4\frac{\partial u}{\partial z}=6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-9t,\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторая производная только по $y$ ($\sigma_y=6$) — прогонка. По $x$: $-2u_x$ ($v_x=-2<0$, правая разность) — рекуррентное; по $z$: $+4u_z$ ($v_z=+4>0$, левая разность) — рекуррентное. Свободный член $-9t$ относим в первую подсхему. ГУ: $u(t,1,y,z)=tyz$ (опора по $x$, правая); $u(t,x,0,z)=0,\ u(t,x,1,z)=txz$ (по $y$); $u(t,x,y,0)=0$ (опора по $z$, нижняя).

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — рекуррентное соотношение по $x$ ($-2u_x$, правая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}-2\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=-9t\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n}+\frac{2\Delta t}{h_x}u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-9t\Delta t}{1+\frac{2\Delta t}{h_x}},$$

ход $j=N_x-1,\dots,1$, опора $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$; $t=(n+\tfrac13)\Delta t$. Устойчива.

Подсхема 2 — прогонка по $y$ ($\sigma_y=6$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}=6\,\frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-2u_{j,k,m}^{n+2/3}+u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.$$

$\tilde a_k=\tilde c_k=-\dfrac{6\Delta t}{h_y^2},\ \tilde b_k=1+\dfrac{12\Delta t}{h_y^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0\Rightarrow\tilde\alpha_1=0,\tilde\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,N_y,m}^{n+2/3}=(n+\tfrac23)\Delta t\,x_j z_m$.

Подсхема 3 — рекуррентное соотношение по $z$ ($+4u_z$, левая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}+4\,\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+1}=\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}+\frac{4\Delta t}{h_z}u_{j,k,m-1}^{n+1}}{1+\frac{4\Delta t}{h_z}},$$

ход $m=2,\dots,N_z-1$, опора $u_{j,k,1}^{n+1}=0$. Устойчива.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x,\,h_y^2,\,h_z\right)$$

Уравнение

Замечание. В условии объявлено $u=u(t,x,y)$, но в уравнении присутствуют производные по $z$. Это известная опечатка оригинала: на самом деле функция трёхмерна по пространству, $u=u(t,x,y,z)$. Решаем как трёхмерную задачу (три подсхемы — по $x$, $y$, $z$). Этот момент следует уточнить у преподавателя.

$$\frac{\partial u}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-4uy,\quad u(0,\dots)=0.$$

Вторые производные по $x$ ($\sigma_x=6$) и $z$ ($\sigma_z=5$) — прогонки; по $y$ второй производной нет. Первые: $+2u_x$ ($v_x=+2>0$, левая разность, подсхема $x$); $+3u_y$ ($v_y=+3>0$, левая разность, подсхема $y$ — рекуррентное). Линейный сток $-4uy$ берём неявно, относим в подсхему 1. ГУ: $u(t,0,y,z)=0,\ u(t,1,y,z)=tyz$; $u(t,x,0,z)=0$ (опора по $y$, нижняя); $u(t,x,y,0)=0,\ u(t,x,y,1)=txy$.

Схема расщепления (три подсхемы)

Интервал $\Delta t$ делится на три части: точки $t^{n+1/3},\,t^{n+2/3}$. Первая подсхема неявна по $x$, вторая по $y$, третья по $z$:

Подсхема 1 — прогонка по $x$ ($+2u_x$ левая разность, $\sigma_x=6$, сток $-4uy$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t}+2\,\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=6\,\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-2u_{j,k,m}^{n+1/3}+u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2}-4y_k u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

$a_j=-\dfrac{6\Delta t}{h_x^2},\ b_j=1+\dfrac{2\Delta t}{h_x}+\dfrac{12\Delta t}{h_x^2}+4y_k\Delta t,\ c_j=-\dfrac{2\Delta t}{h_x}-\dfrac{6\Delta t}{h_x^2}$; $|a_j|+|c_j|=\dfrac{2\Delta t}{h_x}+\dfrac{12\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$ $\checkmark$ ($+4y_k\Delta t\ge0$ усиливает). $u_{1,k,m}^{n+1/3}=0\Rightarrow\alpha_1=0,\beta_1=0$. Правая граница $u_{N_x,k,m}^{n+1/3}=(n+\tfrac13)\Delta t\,y_k z_m$.

Подсхема 2 — рекуррентное соотношение по $y$ ($+3u_y$, левая разность)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t}+3\,\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y}=0\;\Rightarrow\;u_{j,k,m}^{n+2/3}=\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}+\frac{3\Delta t}{h_y}u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{1+\frac{3\Delta t}{h_y}},$$

ход $k=2,\dots,N_y-1$, опора $u_{j,1,m}^{n+2/3}=0$. Устойчива.

Подсхема 3 — прогонка по $z$ ($\sigma_z=5$)

$$\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t}=5\,\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-2u_{j,k,m}^{n+1}+u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.$$

$\hat a_m=\hat c_m=-\dfrac{5\Delta t}{h_z^2},\ \hat b_m=1+\dfrac{10\Delta t}{h_z^2}$; преобладание $\checkmark$. $u_{j,k,1}^{n+1}=0\Rightarrow\hat\alpha_1=0,\hat\beta_1=0$. Правая граница $u_{j,k,N_z}^{n+1}=(n+1)\Delta t\,x_jy_k$.

Порядок аппроксимации

$$O\!\left(\Delta t,\,h_x^2,\,h_y,\,h_z^2\right)$$