Раздел 22. **22.** Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы расщепления. Для каждой из подсхем: проверить сходимость прогонки; записать итерационное соотношение; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение

Условие

$$2y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+3x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+5y\frac{\partial u}{\partial y}=xy+4u,\qquad u=u(x,y),$$ $$\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,y)=y\\[2pt]\dfrac{\partial u}{\partial x}(1,y)=u(1,y)\end{cases}\qquad\begin{cases}u(x,0)=0\\ u(x,1)=x\end{cases}$$

Это эллиптическое уравнение (вторые производные по обеим координатам $x,y$ с одинаковым знаком; вопрос 21). Коэффициенты переменные: $\sigma_x=2y$, $\sigma_y=3x$.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

1. Приведение к виду, удобному для метода установления

Переносим все вторые производные в правую часть с «+», член реакции $4u$ оставляем справа, источник $xy$ — справа:

$$2y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+3x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+5y\frac{\partial u}{\partial y}-4u-xy=0.$$

Вводим фиктивную производную по времени в левую часть со знаком «+»:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=2y\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial x^2}+3x\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial y^2}+5y\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-4\widetilde u-xy.$$

Это двумерное параболическое уравнение с переменными коэффициентами; в узле $(x_j,y_k)$ полагаем $\sigma_x=2y_k$, $\sigma_y=3x_j$, конвективный коэффициент при $\partial u/\partial y$ равен $v_y=-5y_k$ (после переноса в форму $\partial_t u + v_y\partial_y u=\dots$ это $-5y_k<0$, т.е. для $u_y$ берём правую разность). Источник $f(x_j,y_k)=-x_jy_k$, реакционный член $-4u$ (коэффициент $\kappa=4>0$).

2. Схема расщепления

Через промежуточный слой $n+1/2$: на 1-м дробном шаге неявно оператор по $x$ (плюс реакция и источник), на 2-м — оператор по $y$ с конвекцией:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2y_k\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^{2}}-4u_{j,k}^{n+1/2}-x_jy_k,$$ $$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=3x_j\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^{2}}+5y_k\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}.$$

(во второй подсхеме $v_y=-5y_k<0$ — берём правую разность $u_y$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению. Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

3. Подсхема по $x$: коэффициенты, сходимость прогонки

Приводим к виду $a_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+b_j u_{j,k}^{n+1/2}+c_j u_{j-1,k}^{n+1/2}=\xi_{j,k}^{n}$:

$$a_j=c_j=-2y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+4y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+4\Delta t,\quad \xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}-\Delta t\,x_jy_k.$$

Сходимость прогонки (достаточное условие $|a_j|+|c_j|<|b_j|$):

$$|a_j|+|c_j|=4y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+4y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+4\Delta t=|b_j|.$$

Выполняется (реакционный член $+4\Delta t$ усиливает диагональ). Итерационное (прогоночное) соотношение: $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$, где $\alpha_j=-\dfrac{a_j}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}$, $\beta_j=\dfrac{\xi_{j,k}^{n}-c_j\beta_{j-1}}{b_j+c_j\alpha_{j-1}}$.

Левое ГУ по $x$ (2-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,y)=y$. Аппроксимация крайней слева разностью: $\dfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=y_k\Rightarrow u_{1,k}^{n+1/2}=u_{2,k}^{n+1/2}-h_x y_k$. Сравнивая с $u_{1,k}^{n+1/2}=\alpha_1 u_{2,k}^{n+1/2}+\beta_1$:

$$\boxed{\alpha_1=1,\qquad \beta_1=-h_x\,y_k.}$$

Правое ГУ по $x$ (3-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial x}(1,y)=u(1,y)$ — это вид $u_x=\varphi_2 u+\psi_2$ с $\varphi_2=1$, $\psi_2=0$. Аппроксимация $\dfrac{u_{N,k}-u_{N-1,k}}{h_x}=u_{N,k}$ и подстановка $u_{N-1,k}=\alpha_{N-1}u_{N,k}+\beta_{N-1}$ дают решение на правой границе:

$$\boxed{u_{N,k}^{n+1/2}=\frac{\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h_x}.}$$

4. Подсхема по $y$: коэффициенты, сходимость прогонки

С конвекцией $v_y=-5y_k$ (правая разность) приводим к виду $\tilde a_k u_{j,k+1}^{n+1}+\tilde b_k u_{j,k}^{n+1}+\tilde c_k u_{j,k-1}^{n+1}=\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}$:

$$\tilde a_k=-5y_k\frac{\Delta t}{h_y}-3x_j\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+5y_k\frac{\Delta t}{h_y}+6x_j\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-3x_j\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=5y_k\dfrac{\Delta t}{h_y}+6x_j\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+5y_k\dfrac{\Delta t}{h_y}+6x_j\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено.

Итерационное соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k$. Оба ГУ по $y$ — 1-го рода (Дирихле): $u(x,0)=0$, $u(x,1)=x$. Поэтому

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\qquad \widetilde\beta_1=u(x_j,0)=0;}\qquad \boxed{u_{j,N}^{n+1}=u(x_j,1)=x_j.}$$

5. Начальное приближение и условие окончания итераций

Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-x_jy_k$.

Итерации продолжают, пока норма разности соседних приближений не станет меньше точности $\varepsilon$:

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$0.6\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)=3\frac{\partial u}{\partial x}+7uy,\qquad u=u(x,y),$$ $$\begin{cases}u(0,y)=0\\ u(1,y)=y\end{cases}\qquad\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,0)=x\\[2pt]\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,1)=u(x,1)\end{cases}$$

Эллиптическое уравнение, $\sigma=0.6$ (одинаков по обеим координатам).

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

1. Приведение к виду установления

Вторые производные уже справа с «+». Переносим конвекцию и реакцию:

$$0.6\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)-3\frac{\partial u}{\partial x}-7yu=0\ \Rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.6\left(\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial y^2}\right)-3\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}-7y\,\widetilde u.$$

В форме $\partial_t u+v_x\partial_x u=\dots$ имеем $v_x=3>0$ — для $\partial u/\partial x$ берём левую разность. Реакционный член $-7y_k u$ (коэффициент $\kappa=7y_k>0$). Свободный член $f=0$.

2. Схема расщепления

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+3\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=0.6\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^{2}}-7y_k u_{j,k}^{n+1/2},$$ $$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=0.6\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^{2}}.$$

(реакцию $-7yu$ учли в 1-й подсхеме; её можно учесть в любой из подсхем). Обе подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой. Порядок $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

3. Подсхема по $x$: коэффициенты, сходимость

$$a_j=-0.6\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+3\frac{\Delta t}{h_x}+1.2\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+7y_k\Delta t,\quad c_j=-3\frac{\Delta t}{h_x}-0.6\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=3\dfrac{\Delta t}{h_x}+1.2\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+3\dfrac{\Delta t}{h_x}+1.2\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+7y_k\Delta t=|b_j|$ — выполнено ($y_k\ge0$).

Итерационное соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$. Оба ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y)=0$, $u(1,y)=y$.

$$\boxed{\alpha_1=0,\quad \beta_1=u(0,y_k)=0;}\qquad \boxed{u_{N,k}^{n+1/2}=u(1,y_k)=y_k.}$$

4. Подсхема по $y$: коэффициенты, сходимость

$$\tilde a_k=\tilde c_k=-0.6\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+1.2\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=1.2\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+1.2\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k$.

Левое ГУ по $y$ (2-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,0)=x$. Аппроксимация $\dfrac{u_{j,2}-u_{j,1}}{h_y}=x_j\Rightarrow u_{j,1}=u_{j,2}-h_y x_j$, т.е.

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=1,\qquad \widetilde\beta_1=-h_y\,x_j.}$$

Правое ГУ по $y$ (3-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,1)=u(x,1)$ ($\varphi_2=1,\psi_2=0$). Используя $u_{j,N-1}=\widetilde\alpha_{N-1}u_{j,N}+\widetilde\beta_{N-1}$ и $\dfrac{u_{j,N}-u_{j,N-1}}{h_y}=u_{j,N}$:

$$\boxed{u_{j,N}^{n+1}=\frac{\widetilde\beta_{N-1}}{1-\widetilde\alpha_{N-1}-h_y}.}$$

5. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=0$ (свободный член равен нулю). Итерации до сходимости:

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$-4\frac{\partial u}{\partial y}+9\frac{\partial u}{\partial x}+0.8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+1.3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=7.1\,e^{x+y},\qquad u=u(x,y),$$ $$\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,y)=u(0,y)\\ u(1,y)=e^{y+1}\end{cases}\qquad\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,0)=u(x,0)\\ u(x,1)=e^{x+1}\end{cases}$$

Эллиптическое: $\sigma_x=0.8$, $\sigma_y=1.3$.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

1. Приведение к виду установления

Вторые производные уже справа с «+». Перенесём источник, оставим конвекцию:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.8\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial x^2}+1.3\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial y^2}-9\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}+4\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-7.1\,e^{x+y}.$$

В форме $\partial_t u+v_x\partial_x u+v_y\partial_y u=\dots$: $v_x=9>0$ (левая разность для $u_x$), $v_y=-4<0$ (правая разность для $u_y$). Реакции нет. Источник $f=-7.1e^{x_j+y_k}$.

2. Схема расщепления

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+9\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=0.8\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^{2}}-7.1e^{x_j+y_k},$$ $$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}-4\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=1.3\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^{2}}.$$

Обе подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

3. Подсхема по $x$: коэффициенты, сходимость

$$a_j=-0.8\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+9\frac{\Delta t}{h_x}+1.6\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad c_j=-9\frac{\Delta t}{h_x}-0.8\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}-7.1\,\Delta t\,e^{x_j+y_k}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=9\dfrac{\Delta t}{h_x}+1.6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+9\dfrac{\Delta t}{h_x}+1.6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$.

Левое ГУ по $x$ (3-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,y)=u(0,y)$ ($\varphi_1=1,\psi_1=0$). Аппроксимация $\dfrac{u_{2,k}-u_{1,k}}{h_x}=u_{1,k}\Rightarrow u_{1,k}=\dfrac{u_{2,k}}{1+h_x}$:

$$\boxed{\alpha_1=\frac{1}{1+h_x},\qquad \beta_1=0.}$$

Правое ГУ по $x$ (1-го рода): $u(1,y)=e^{y+1}$: $\boxed{u_{N,k}^{n+1/2}=e^{\,y_k+1}.}$

4. Подсхема по $y$: коэффициенты, сходимость

$v_y=-4$ (правая разность):

$$\tilde a_k=-4\frac{\Delta t}{h_y}-1.3\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+4\frac{\Delta t}{h_y}+2.6\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-1.3\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=4\dfrac{\Delta t}{h_y}+2.6\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+4\dfrac{\Delta t}{h_y}+2.6\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k$.

Левое ГУ по $y$ (3-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,0)=u(x,0)$ ($\varphi_1=1,\psi_1=0$): $\dfrac{u_{j,2}-u_{j,1}}{h_y}=u_{j,1}\Rightarrow u_{j,1}=\dfrac{u_{j,2}}{1+h_y}$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=\frac{1}{1+h_y},\qquad \widetilde\beta_1=0.}$$

Правое ГУ по $y$ (1-го рода): $u(x,1)=e^{x+1}$: $\boxed{u_{j,N}^{n+1}=e^{\,x_j+1}.}$

5. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-7.1\,e^{x_j+y_k}$. Итерации до

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=5\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x}\right)+10(u+2xy-1),\qquad u=u(x,y),$$ $$\begin{cases}u(0,y)=y\\ u(1,y)=1-y\end{cases}\qquad\begin{cases}u(x,0)=x\\ u(x,1)=1-x\end{cases}$$

Эллиптическое: $\sigma_x=2$, $\sigma_y=7$.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

1. Приведение к виду установления

Раскрываем правую часть и переносим всё, кроме вторых производных:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=2\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial x^2}+7\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial y^2}-5\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}-5\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-10\widetilde u-10(2x y-1).$$

$v_x=5>0$, $v_y=5>0$ — для обеих первых производных левая разность. Реакция $-10u$ ($\kappa=10>0$). Источник $f=-10(2x_jy_k-1)=10-20x_jy_k$.

2. Схема расщепления

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+5\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=2\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^{2}}-10u_{j,k}^{n+1/2}+10-20x_jy_k,$$ $$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+5\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=7\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^{2}}.$$

Обе подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

3. Подсхема по $x$

$$a_j=-2\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+5\frac{\Delta t}{h_x}+4\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+10\Delta t,\quad c_j=-5\frac{\Delta t}{h_x}-2\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t(10-20x_jy_k).$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=5\dfrac{\Delta t}{h_x}+4\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+5\dfrac{\Delta t}{h_x}+4\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+10\Delta t=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$.

Оба ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y)=y$, $u(1,y)=1-y$:

$$\boxed{\alpha_1=0,\quad \beta_1=u(0,y_k)=y_k;}\qquad \boxed{u_{N,k}^{n+1/2}=u(1,y_k)=1-y_k.}$$

4. Подсхема по $y$

$v_y=5>0$ (левая разность):

$$\tilde a_k=-7\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+5\frac{\Delta t}{h_y}+14\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-5\frac{\Delta t}{h_y}-7\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=5\dfrac{\Delta t}{h_y}+14\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+5\dfrac{\Delta t}{h_y}+14\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k$.

Оба ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0)=x$, $u(x,1)=1-x$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\quad \widetilde\beta_1=u(x_j,0)=x_j;}\qquad \boxed{u_{j,N}^{n+1}=u(x_j,1)=1-x_j.}$$

5. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=10-20x_jy_k$. Итерации до

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$0.3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=7\frac{\partial u}{\partial x}-11\frac{\partial u}{\partial y}+xy(2u-1),\qquad u=u(x,y),$$ $$\begin{cases}u(0,y)=y\\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(1,y)=y\end{cases}\qquad\begin{cases}u(x,0)=x\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,1)=x\end{cases}$$

Эллиптическое: $\sigma_x=0.3$, $\sigma_y=0.5$.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

1. Приведение к виду установления

$xy(2u-1)=2xy\,u-xy$. Переносим всё, кроме вторых производных:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.3\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial x^2}+0.5\frac{\partial^2\widetilde u}{\partial y^2}-7\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}+11\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-2x y\,\widetilde u+x y.$$

$v_x=7>0$ (левая разность для $u_x$), $v_y=-11<0$ (правая разность для $u_y$). Реакция $-2x_jy_k u$ ($\kappa=2x_jy_k\ge0$). Источник $f=+x_jy_k$.

2. Схема расщепления

$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+7\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=0.3\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-2u_{j,k}^{n+1/2}+u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^{2}}-2x_jy_k u_{j,k}^{n+1/2}+x_jy_k,$$ $$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}-11\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=0.5\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-2u_{j,k}^{n+1}+u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^{2}}.$$

Обе подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

3. Подсхема по $x$

$$a_j=-0.3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+7\frac{\Delta t}{h_x}+0.6\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+2x_jy_k\Delta t,\quad c_j=-7\frac{\Delta t}{h_x}-0.3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\,x_jy_k.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=7\dfrac{\Delta t}{h_x}+0.6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+7\dfrac{\Delta t}{h_x}+0.6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+2x_jy_k\Delta t=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$.

Левое ГУ по $x$ (1-го рода): $u(0,y)=y$: $\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=y_k.}$

Правое ГУ по $x$ (2-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial x}(1,y)=y$. Из $\dfrac{u_{N,k}-u_{N-1,k}}{h_x}=y_k$ и $u_{N-1,k}=\alpha_{N-1}u_{N,k}+\beta_{N-1}$:

$$\boxed{u_{N,k}^{n+1/2}=\frac{h_x\,y_k+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}}.}$$

4. Подсхема по $y$

$v_y=-11$ (правая разность):

$$\tilde a_k=-11\frac{\Delta t}{h_y}-0.5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+11\frac{\Delta t}{h_y}+\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-0.5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=11\dfrac{\Delta t}{h_y}+\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+11\dfrac{\Delta t}{h_y}+\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k$.

Левое ГУ по $y$ (1-го рода): $u(x,0)=x$: $\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=x_j.}$

Правое ГУ по $y$ (2-го рода): $\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,1)=x$: из $\dfrac{u_{j,N}-u_{j,N-1}}{h_y}=x_j$ и $u_{j,N-1}=\widetilde\alpha_{N-1}u_{j,N}+\widetilde\beta_{N-1}$:

$$\boxed{u_{j,N}^{n+1}=\frac{h_y\,x_j+\widetilde\beta_{N-1}}{1-\widetilde\alpha_{N-1}}.}$$

5. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=x_jy_k$. Итерации до

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$0.4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+0.7\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}+6\frac{\partial u}{\partial z}-9\frac{\partial u}{\partial y}=8y(xu+z),\qquad u=u(x,y,z),$$ $$\begin{cases}u(0,y,z)=zy\\ u(1,y,z)=z(y+1)\end{cases}\ \begin{cases}u(x,0,z)=zx\\ u(x,1,z)=z(x+1)\end{cases}\ \begin{cases}u(x,y,0)=0\\ u(x,y,1)=x+y\end{cases}$$

Трёхмерное эллиптическое уравнение, $\sigma_x=0.4,\ \sigma_y=0.5,\ \sigma_z=0.7$. Все шесть ГУ — 1-го рода (Дирихле).

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

Для трёхмерного эллиптического уравнения схема расщепления состоит из трёх подсхем через слои $n+1/3$, $n+2/3$, $n+1$: на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате ($x$, затем $y$, затем $z$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению (гл. 9.6, 11.4). Свободный член учитывают в любой одной подсхеме (удобно — в первой). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$, число итераций $n\sim 1/h$.

1. Приведение к виду установления

$8y(xu+z)=8xy\,u+8yz$. Переносим всё, кроме вторых производных, и вводим фиктивную производную:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.4\widetilde u_{xx}+0.5\widetilde u_{yy}+0.7\widetilde u_{zz}+6\widetilde u_{z}-9\widetilde u_{y}-8xy\,\widetilde u-8yz.$$

$v_y=9>0$ (левая разность для $u_y$), $v_z=-6<0$ (правая разность для $u_z$). По $x$ первой производной нет. Реакция $-8x_jy_k u$ ($\kappa=8x_jy_k\ge0$). Источник $f=-8y_k z_m$.

2. Схема расщепления (3 подсхемы)

$$\frac{u^{n+1/3}-u^{n}}{\Delta t}=0.4\,\lambda_{xx}u^{n+1/3}-8x_jy_k u^{n+1/3}-8y_kz_m,$$ $$\frac{u^{n+2/3}-u^{n+1/3}}{\Delta t}+9\frac{u_{j,k}^{n+2/3}-u_{j,k-1}^{n+2/3}}{h_y}=0.5\,\lambda_{yy}u^{n+2/3},$$ $$\frac{u^{n+1}-u^{n+2/3}}{\Delta t}-6\frac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+1}}{h_z}=0.7\,\lambda_{zz}u^{n+1}.$$

(индексы $j,k,m$; реакция и источник учтены в 1-й подсхеме). Все три подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$.

3. Подсхема по $x$

$$a_j=c_j=-0.4\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+0.8\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+8x_jy_k\Delta t,\quad \xi^{n}=u_{j,k,m}^{n}-8y_kz_m\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=0.8\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+0.8\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+8x_jy_k\Delta t=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\beta_j$.

ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y,z)=zy$, $u(1,y,z)=z(y+1)$:

$$\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=z_m y_k;}\qquad \boxed{u_{N,k,m}^{n+1/3}=z_m(y_k+1).}$$

4. Подсхема по $y$

$v_y=9>0$ (левая разность):

$$\tilde a_k=-0.5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+9\frac{\Delta t}{h_y}+\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-9\frac{\Delta t}{h_y}-0.5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=9\dfrac{\Delta t}{h_y}+\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+9\dfrac{\Delta t}{h_y}+\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+2/3}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+2/3}+\widetilde\beta_k$.

ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0,z)=zx$, $u(x,1,z)=z(x+1)$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=z_m x_j;}\qquad \boxed{u_{j,N,m}^{n+2/3}=z_m(x_j+1).}$$

5. Подсхема по $z$

$v_z=-6<0$ (правая разность):

$$\widetilde{\widetilde a}_m=-6\frac{\Delta t}{h_z}-0.7\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde b}_m=1+6\frac{\Delta t}{h_z}+1.4\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde c}_m=-0.7\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde\xi}^{\,n+2/3}=u_{j,k,m}^{n+2/3}.$$

Сходимость: $|\widetilde{\widetilde a}_m|+|\widetilde{\widetilde c}_m|=6\dfrac{\Delta t}{h_z}+1.4\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}<1+6\dfrac{\Delta t}{h_z}+1.4\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}=|\widetilde{\widetilde b}_m|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$.

ГУ по $z$ — 1-го рода: $u(x,y,0)=0$, $u(x,y,1)=x+y$:

$$\boxed{\widetilde{\widetilde\alpha}_1=0,\ \widetilde{\widetilde\beta}_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,k,N}^{n+1}=x_j+y_k.}$$

6. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k,m}^{0}=f(x_j,y_k,z_m)=-8y_kz_m$. Итерации до

$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{3}\sum_{m}\sum_{k}\sum_{j}\left(u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$

Условие

$$0.1\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=-3\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}-5x(1-uyz),\qquad u=u(x,y,z),$$ $$\begin{cases}u(0,y,z)=0\\ u(1,y,z)=yz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,0,z)=0\\ u(x,1,z)=xz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,y,0)=0\\ u(x,y,1)=xy\end{cases}$$

Трёхмерное эллиптическое, $\sigma_x=0.1,\ \sigma_y=0.2,\ \sigma_z=0.1$. Все ГУ 1-го рода.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

Для трёхмерного эллиптического уравнения схема расщепления состоит из трёх подсхем через слои $n+1/3$, $n+2/3$, $n+1$: на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате ($x$, затем $y$, затем $z$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению (гл. 9.6, 11.4). Свободный член учитывают в любой одной подсхеме (удобно — в первой). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$, число итераций $n\sim 1/h$.

1. Приведение к виду установления

$-5x(1-uyz)=-5x+5xyz\,u$. Вторые производные уже справа с «+». Переносим:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.1\widetilde u_{xx}+0.2\widetilde u_{yy}+0.1\widetilde u_{zz}+3\widetilde u_{y}-2\widetilde u_{z}+5xyz\,\widetilde u-5x.$$

$v_y=-3<0$ (правая разность для $u_y$), $v_z=2>0$ (левая разность для $u_z$). По $x$ первой производной нет. Реакция $+5x_jy_kz_m u$ — внимание: коэффициент при $u$ положительный ($\kappa=-5x_jy_kz_m\le0$ в обозначении $-\kappa u$), что ослабляет диагональ; учтём это при проверке сходимости. Источник $f=-5x_j$.

2. Схема расщепления (3 подсхемы)

$$\frac{u^{n+1/3}-u^{n}}{\Delta t}=0.1\,\lambda_{xx}u^{n+1/3}+5x_jy_kz_m u^{n+1/3}-5x_j,$$ $$\frac{u^{n+2/3}-u^{n+1/3}}{\Delta t}-3\frac{u_{j,k+1}^{n+2/3}-u_{j,k}^{n+2/3}}{h_y}=0.2\,\lambda_{yy}u^{n+2/3},$$ $$\frac{u^{n+1}-u^{n+2/3}}{\Delta t}+2\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=0.1\,\lambda_{zz}u^{n+1}.$$

Все три подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$.

3. Подсхема по $x$

$$a_j=c_j=-0.1\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+0.2\frac{\Delta t}{h_x^{2}}-5x_jy_kz_m\Delta t,\quad \xi^{n}=u_{j,k,m}^{n}-5x_j\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=0.2\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}$. Так как $00$). Соотношение $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\beta_j$.

ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y,z)=0$, $u(1,y,z)=yz$:

$$\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{N,k,m}^{n+1/3}=y_k z_m.}$$

4. Подсхема по $y$

$v_y=-3<0$ (правая разность):

$$\tilde a_k=-3\frac{\Delta t}{h_y}-0.2\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+3\frac{\Delta t}{h_y}+0.4\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-0.2\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=3\dfrac{\Delta t}{h_y}+0.4\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+3\dfrac{\Delta t}{h_y}+0.4\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+2/3}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+2/3}+\widetilde\beta_k$.

ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0,z)=0$, $u(x,1,z)=xz$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,N,m}^{n+2/3}=x_j z_m.}$$

5. Подсхема по $z$

$v_z=2>0$ (левая разность):

$$\widetilde{\widetilde a}_m=-0.1\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde b}_m=1+2\frac{\Delta t}{h_z}+0.2\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde c}_m=-2\frac{\Delta t}{h_z}-0.1\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde\xi}^{\,n+2/3}=u_{j,k,m}^{n+2/3}.$$

Сходимость: $|\widetilde{\widetilde a}_m|+|\widetilde{\widetilde c}_m|=2\dfrac{\Delta t}{h_z}+0.2\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}<1+2\dfrac{\Delta t}{h_z}+0.2\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}=|\widetilde{\widetilde b}_m|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$.

ГУ по $z$ — 1-го рода: $u(x,y,0)=0$, $u(x,y,1)=xy$:

$$\boxed{\widetilde{\widetilde\alpha}_1=0,\ \widetilde{\widetilde\beta}_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,k,N}^{n+1}=x_j y_k.}$$

6. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k,m}^{0}=f(x_j,y_k,z_m)=-5x_j$. Итерации до $\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{3}\sum_m\sum_k\sum_j (u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n})^{2}}\le\varepsilon.$

Условие

$$3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+7\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-8\frac{\partial u}{\partial z}=2\frac{\partial u}{\partial x}+9(u+yz-4xy),\qquad u=u(x,y,z),$$ $$\begin{cases}u(0,y,z)=-yz\\ u(1,y,z)=(4-z)y\end{cases}\ \begin{cases}u(x,0,z)=0\\ u(x,1,z)=4x-z\end{cases}\ \begin{cases}u(x,y,0)=4xy\\ u(x,y,1)=4xy-y\end{cases}$$

Трёхмерное эллиптическое, $\sigma_x=3,\ \sigma_y=5,\ \sigma_z=7$. Все ГУ 1-го рода.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

Для трёхмерного эллиптического уравнения схема расщепления состоит из трёх подсхем через слои $n+1/3$, $n+2/3$, $n+1$: на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате ($x$, затем $y$, затем $z$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению (гл. 9.6, 11.4). Свободный член учитывают в любой одной подсхеме (удобно — в первой). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$, число итераций $n\sim 1/h$.

1. Приведение к виду установления

$9(u+yz-4xy)=9u+9yz-36xy$. Переносим:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=3\widetilde u_{xx}+5\widetilde u_{yy}+7\widetilde u_{zz}-8\widetilde u_{z}-2\widetilde u_{x}-9\widetilde u-9yz+36xy.$$

$v_x=2>0$ (левая разность для $u_x$), $v_z=8>0$ (левая разность для $u_z$). По $y$ первой производной нет. Реакция $-9u$ ($\kappa=9>0$). Источник $f=-9y_kz_m+36x_jy_k$.

2. Схема расщепления (3 подсхемы)

$$\frac{u^{n+1/3}-u^{n}}{\Delta t}+2\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=3\,\lambda_{xx}u^{n+1/3}-9u^{n+1/3}-9y_kz_m+36x_jy_k,$$ $$\frac{u^{n+2/3}-u^{n+1/3}}{\Delta t}=5\,\lambda_{yy}u^{n+2/3},$$ $$\frac{u^{n+1}-u^{n+2/3}}{\Delta t}+8\frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=7\,\lambda_{zz}u^{n+1}.$$

Все три подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$.

3. Подсхема по $x$

$v_x=2>0$ (левая разность), реакция $-9u$:

$$a_j=-3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+2\frac{\Delta t}{h_x}+6\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+9\Delta t,\quad c_j=-2\frac{\Delta t}{h_x}-3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi^{n}=u^{n}+\Delta t(36x_jy_k-9y_kz_m).$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=2\dfrac{\Delta t}{h_x}+6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+2\dfrac{\Delta t}{h_x}+6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+9\Delta t=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\beta_j$.

ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y,z)=-yz$, $u(1,y,z)=(4-z)y$:

$$\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=-y_kz_m;}\qquad \boxed{u_{N,k,m}^{n+1/3}=(4-z_m)y_k.}$$

4. Подсхема по $y$ (без конвекции)

$$\tilde a_k=\tilde c_k=-5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+10\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=10\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+10\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+2/3}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+2/3}+\widetilde\beta_k$.

ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0,z)=0$, $u(x,1,z)=4x-z$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,N,m}^{n+2/3}=4x_j-z_m.}$$

5. Подсхема по $z$

$v_z=8>0$ (левая разность):

$$\widetilde{\widetilde a}_m=-7\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde b}_m=1+8\frac{\Delta t}{h_z}+14\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde c}_m=-8\frac{\Delta t}{h_z}-7\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde\xi}^{\,n+2/3}=u_{j,k,m}^{n+2/3}.$$

Сходимость: $|\widetilde{\widetilde a}_m|+|\widetilde{\widetilde c}_m|=8\dfrac{\Delta t}{h_z}+14\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}<1+8\dfrac{\Delta t}{h_z}+14\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}=|\widetilde{\widetilde b}_m|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$.

ГУ по $z$ — 1-го рода: $u(x,y,0)=4xy$, $u(x,y,1)=4xy-y$:

$$\boxed{\widetilde{\widetilde\alpha}_1=0,\ \widetilde{\widetilde\beta}_1=4x_jy_k;}\qquad \boxed{u_{j,k,N}^{n+1}=4x_jy_k-y_k.}$$

6. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k,m}^{0}=f(x_j,y_k,z_m)=36x_jy_k-9y_kz_m$. Итерации до $\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{3}\sum_m\sum_k\sum_j (u^{n+1}-u^{n})^{2}}\le\varepsilon.$

Условие

$$2\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+11\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=5\frac{\partial u}{\partial y}+3z(xy+u),\qquad u=u(x,y,z),$$ $$\begin{cases}u(0,y,z)=0\\ u(1,y,z)=yz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,0,z)=0\\ u(x,1,z)=xz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,y,0)=0\\ u(x,y,1)=xy\end{cases}$$

Трёхмерное эллиптическое, $\sigma_x=3,\ \sigma_y=8,\ \sigma_z=11$. Все ГУ 1-го рода.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

Для трёхмерного эллиптического уравнения схема расщепления состоит из трёх подсхем через слои $n+1/3$, $n+2/3$, $n+1$: на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате ($x$, затем $y$, затем $z$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению (гл. 9.6, 11.4). Свободный член учитывают в любой одной подсхеме (удобно — в первой). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$, число итераций $n\sim 1/h$.

1. Приведение к виду установления

$3z(xy+u)=3xyz+3z\,u$. Переносим всё, кроме вторых производных:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=3\widetilde u_{xx}+8\widetilde u_{yy}+11\widetilde u_{zz}+2\widetilde u_{x}-5\widetilde u_{y}-3z\,\widetilde u-3xyz.$$

$v_x=-2<0$ (правая разность для $u_x$), $v_y=5>0$ (левая разность для $u_y$). По $z$ первой производной нет. Реакция $-3z_m u$ ($\kappa=3z_m\ge0$). Источник $f=-3x_jy_kz_m$.

2. Схема расщепления (3 подсхемы)

$$\frac{u^{n+1/3}-u^{n}}{\Delta t}-2\frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=3\,\lambda_{xx}u^{n+1/3}-3z_m u^{n+1/3}-3x_jy_kz_m,$$ $$\frac{u^{n+2/3}-u^{n+1/3}}{\Delta t}+5\frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y}=8\,\lambda_{yy}u^{n+2/3},$$ $$\frac{u^{n+1}-u^{n+2/3}}{\Delta t}=11\,\lambda_{zz}u^{n+1}.$$

Все три подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$.

3. Подсхема по $x$

$v_x=-2<0$ (правая разность), реакция $-3z_m u$:

$$a_j=-2\frac{\Delta t}{h_x}-3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+2\frac{\Delta t}{h_x}+6\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+3z_m\Delta t,\quad c_j=-3\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi^{n}=u^{n}-3x_jy_kz_m\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=2\dfrac{\Delta t}{h_x}+6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+2\dfrac{\Delta t}{h_x}+6\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}+3z_m\Delta t=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\beta_j$.

ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y,z)=0$, $u(1,y,z)=yz$. (при $v_x<0$ прогонка по $x$ идёт справа налево; $\alpha_1,\beta_1$ по-прежнему из левого ГУ):

$$\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{N,k,m}^{n+1/3}=y_k z_m.}$$

4. Подсхема по $y$

$v_y=5>0$ (левая разность):

$$\tilde a_k=-8\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+5\frac{\Delta t}{h_y}+16\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde c_k=-5\frac{\Delta t}{h_y}-8\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=5\dfrac{\Delta t}{h_y}+16\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+5\dfrac{\Delta t}{h_y}+16\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+2/3}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+2/3}+\widetilde\beta_k$.

ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0,z)=0$, $u(x,1,z)=xz$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,N,m}^{n+2/3}=x_j z_m.}$$

5. Подсхема по $z$ (без конвекции)

$$\widetilde{\widetilde a}_m=\widetilde{\widetilde c}_m=-11\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde b}_m=1+22\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde\xi}^{\,n+2/3}=u_{j,k,m}^{n+2/3}.$$

Сходимость: $|\widetilde{\widetilde a}_m|+|\widetilde{\widetilde c}_m|=22\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}<1+22\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}=|\widetilde{\widetilde b}_m|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$.

ГУ по $z$ — 1-го рода: $u(x,y,0)=0$, $u(x,y,1)=xy$:

$$\boxed{\widetilde{\widetilde\alpha}_1=0,\ \widetilde{\widetilde\beta}_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,k,N}^{n+1}=x_j y_k.}$$

6. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k,m}^{0}=f(x_j,y_k,z_m)=-3x_jy_kz_m$. Итерации до $\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{3}\sum_m\sum_k\sum_j (u^{n+1}-u^{n})^{2}}\le\varepsilon.$

Условие

$$0.2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+1.3\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=2\frac{\partial u}{\partial x}-2zy,\qquad u=u(x,y,z),$$ $$\begin{cases}u(0,y,z)=0\\ u(1,y,z)=yz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,0,z)=0\\ u(x,1,z)=xz\end{cases}\ \begin{cases}u(x,y,0)=0\\ u(x,y,1)=xy\end{cases}$$

Трёхмерное эллиптическое, $\sigma_x=0.2,\ \sigma_y=0.5,\ \sigma_z=1.3$. Все ГУ 1-го рода. Реакционного члена нет.

Идея метода установления со схемой расщепления (гл. 11.2, 11.4; вопрос 21)

Уравнение эллиптического типа описывает стационарный процесс и при прямой разностной аппроксимации даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы, неизвестное не выделяется). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную, вводя фиктивную производную по времени $\partial\widetilde u/\partial t$. Так как граничные условия и свободный член от времени не зависят, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\partial\widetilde u/\partial t\to 0$.

Правила введения фиктивной производной (гл. 11.7): 1) уравнение приводят к виду, где все вторые производные стоят в правой части с положительным знаком; 2) производную $\partial\widetilde u/\partial t$ вводят в левую часть с положительным знаком.

Полученное параболическое уравнение решают схемой расщепления (методом дробных шагов): шаг по «времени» (итерация) $\Delta t$ разбивают на дробные шаги через промежуточные слои; на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате. Каждая подсхема — аналог одномерной неявной параболической схемы: абсолютно устойчива, поэтому шаг итерации $\Delta t$ выбирают произвольно (грубым), и решается методом прогонки по своему направлению. Число итераций $n\sim 1/h$ (против $n\sim 1/h^2$ у явной схемы — метода простой итерации). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2)$.

Для трёхмерного эллиптического уравнения схема расщепления состоит из трёх подсхем через слои $n+1/3$, $n+2/3$, $n+1$: на каждом дробном шаге неявно обрабатывается оператор только по одной координате ($x$, затем $y$, затем $z$). Каждая подсхема абсолютно устойчива и решается прогонкой по своему направлению (гл. 9.6, 11.4). Свободный член учитывают в любой одной подсхеме (удобно — в первой). Порядок аппроксимации $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$, число итераций $n\sim 1/h$.

1. Приведение к виду установления

Вторые производные уже справа с «+». Переносим конвекцию и источник:

$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.2\widetilde u_{xx}+0.5\widetilde u_{yy}+1.3\widetilde u_{zz}-2\widetilde u_{x}+2yz.$$

$v_x=2>0$ (левая разность для $u_x$). По $y,z$ первых производных нет. Источник $f=+2y_kz_m$.

2. Схема расщепления (3 подсхемы)

$$\frac{u^{n+1/3}-u^{n}}{\Delta t}+2\frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=0.2\,\lambda_{xx}u^{n+1/3}+2y_kz_m,$$ $$\frac{u^{n+2/3}-u^{n+1/3}}{\Delta t}=0.5\,\lambda_{yy}u^{n+2/3},$$ $$\frac{u^{n+1}-u^{n+2/3}}{\Delta t}=1.3\,\lambda_{zz}u^{n+1}.$$

Все три подсхемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой; $O(\Delta t,h_x^2,h_y^2,h_z^2)$.

3. Подсхема по $x$

$v_x=2>0$ (левая разность):

$$a_j=-0.2\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad b_j=1+2\frac{\Delta t}{h_x}+0.4\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad c_j=-2\frac{\Delta t}{h_x}-0.2\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\quad \xi^{n}=u^{n}+2y_kz_m\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=2\dfrac{\Delta t}{h_x}+0.4\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}<1+2\dfrac{\Delta t}{h_x}+0.4\dfrac{\Delta t}{h_x^{2}}=|b_j|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1/3}=\alpha_j u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\beta_j$.

ГУ по $x$ — 1-го рода: $u(0,y,z)=0$, $u(1,y,z)=yz$:

$$\boxed{\alpha_1=0,\ \beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{N,k,m}^{n+1/3}=y_k z_m.}$$

4. Подсхема по $y$ (без конвекции)

$$\tilde a_k=\tilde c_k=-0.5\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde b_k=1+\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad \tilde\xi^{n+1/3}=u_{j,k,m}^{n+1/3}.$$

Сходимость: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}<1+\dfrac{\Delta t}{h_y^{2}}=|\tilde b_k|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+2/3}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1,m}^{n+2/3}+\widetilde\beta_k$.

ГУ по $y$ — 1-го рода: $u(x,0,z)=0$, $u(x,1,z)=xz$:

$$\boxed{\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,N,m}^{n+2/3}=x_j z_m.}$$

5. Подсхема по $z$ (без конвекции)

$$\widetilde{\widetilde a}_m=\widetilde{\widetilde c}_m=-1.3\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde b}_m=1+2.6\frac{\Delta t}{h_z^{2}},\quad \widetilde{\widetilde\xi}^{\,n+2/3}=u_{j,k,m}^{n+2/3}.$$

Сходимость: $|\widetilde{\widetilde a}_m|+|\widetilde{\widetilde c}_m|=2.6\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}<1+2.6\dfrac{\Delta t}{h_z^{2}}=|\widetilde{\widetilde b}_m|$ — выполнено. Соотношение $u^{n+1}=\widetilde{\widetilde\alpha}_m u_{j,k,m+1}^{n+1}+\widetilde{\widetilde\beta}_m$.

ГУ по $z$ — 1-го рода: $u(x,y,0)=0$, $u(x,y,1)=xy$:

$$\boxed{\widetilde{\widetilde\alpha}_1=0,\ \widetilde{\widetilde\beta}_1=0;}\qquad \boxed{u_{j,k,N}^{n+1}=x_j y_k.}$$

6. Начальное приближение и окончание итераций

$u_{j,k,m}^{0}=f(x_j,y_k,z_m)=2y_kz_m$. Итерации до $\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{3}\sum_m\sum_k\sum_j (u^{n+1}-u^{n})^{2}}\le\varepsilon.$