Раздел 21. **21.** Привести уравнение к виду, удобному для использования метода простой итерации. Записать выражение для шага итерации. Записать итерационное соотношение, учитывая шаг итерации. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение

Идея метода установления для эллиптического уравнения

Прямая разностная аппроксимация уравнения Пуассона $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$ даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы без явного выделения неизвестного). Поэтому вводим фиктивную производную по времени — превращаем стационарную задачу в нестационарную двумерную параболическую:

$$\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y)=0\ \rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y).$$

Так как и граничные условия, и свободный член $f(x,y)$ не зависят от времени, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$.

Явная схема — метод простой итерации

Записываем явную разностную схему (все пространственные операторы на известном слое $n$), при $h_x=h_y=h$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\sigma\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^{2}}\le\dfrac{1}{4\sigma}$.

Шаг итерации

Берут максимально допустимый (предельный) шаг — это и определяет шаг итерации:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}.$$

Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражая $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляя $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$, получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^{2}}{4\sigma}\,f(x_j,y_k).$$

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)$. Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

Граничные узлы на каждой итерации берут из ГУ 1-го рода (они от итерации не меняются). Условная устойчивость явной схемы вынуждает брать мелкий шаг $\Delta t$, поэтому итераций требуется $n\sim 1/h^{2}$.

---

1. Приведение к стандартному виду $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$

Уравнение $\tfrac{1}{6}\,(u_{xx}+u_{yy})=2x+1$ переносим в стандартный вид (вторые производные — слева с плюсом, остальное — в свободный член):

$$\tfrac{1}{6}\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f(x,y)=0,\qquad \sigma=\tfrac{1}{6},\quad f(x,y)=-\left(2x+1\right).$$

То есть $f(x_j,y_k)=-(2x_j+1)$.

2. Фиктивная производная и явная схема (простая итерация)

Вводим фиктивную производную: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\tfrac{1}{6}(\widetilde u_{xx}+\widetilde u_{yy})+f(x,y)$. Явная разностная схема ($h_x=h_y=h$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\tfrac{1}{6}\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

3. Шаг итерации

Из условия устойчивости $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}$ берут предельный (максимальный) шаг:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}=\frac{h^2}{4\cdot\frac16}=\frac{3h^2}{2}.$$

4. Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляем $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$ — получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^2}{4\cdot\frac16}=\frac{3h^2}{2}\cdot\bigl(-(2x_j+1)\bigr).$$

5. Условие окончания итераций

Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

6. Начальное приближение

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-(2x_j+1)$ (во внутренних узлах). Граничные узлы на всех итерациях берут из ГУ 1-го рода: $u(0,y)=3y^2,\ u(1,y)=3y^2+2,\ u(x,0)=2x^3,\ u(x,1)=2x^3+3$ — они от итерации не зависят.

Идея метода установления для эллиптического уравнения

Прямая разностная аппроксимация уравнения Пуассона $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$ даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы без явного выделения неизвестного). Поэтому вводим фиктивную производную по времени — превращаем стационарную задачу в нестационарную двумерную параболическую:

$$\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y)=0\ \rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y).$$

Так как и граничные условия, и свободный член $f(x,y)$ не зависят от времени, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$.

Явная схема — метод простой итерации

Записываем явную разностную схему (все пространственные операторы на известном слое $n$), при $h_x=h_y=h$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\sigma\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^{2}}\le\dfrac{1}{4\sigma}$.

Шаг итерации

Берут максимально допустимый (предельный) шаг — это и определяет шаг итерации:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}.$$

Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражая $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляя $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$, получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^{2}}{4\sigma}\,f(x_j,y_k).$$

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)$. Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

Граничные узлы на каждой итерации берут из ГУ 1-го рода (они от итерации не меняются). Условная устойчивость явной схемы вынуждает брать мелкий шаг $\Delta t$, поэтому итераций требуется $n\sim 1/h^{2}$.

---

1. Приведение к стандартному виду $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$

Уравнение $0.5\,(u_{xx}+u_{yy})=x+y$ переносим в стандартный вид (вторые производные — слева с плюсом, остальное — в свободный член):

$$0.5\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f(x,y)=0,\qquad \sigma=0.5,\quad f(x,y)=-\left(x+y\right).$$

То есть $f(x_j,y_k)=-(x_j+y_k)$.

2. Фиктивная производная и явная схема (простая итерация)

Вводим фиктивную производную: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0.5(\widetilde u_{xx}+\widetilde u_{yy})+f(x,y)$. Явная разностная схема ($h_x=h_y=h$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=0.5\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

3. Шаг итерации

Из условия устойчивости $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}$ берут предельный (максимальный) шаг:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}=\frac{h^2}{4\cdot0.5}=\frac{h^2}{2}.$$

4. Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляем $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$ — получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^2}{4\cdot0.5}=\frac{h^2}{2}\cdot\bigl(-(x_j+y_k)\bigr).$$

5. Условие окончания итераций

Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

6. Начальное приближение

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-(x_j+y_k)$ (во внутренних узлах). Граничные узлы на всех итерациях берут из ГУ 1-го рода: $u(0,y)=0,\ u(1,y)=y^2+y,\ u(x,0)=0,\ u(x,1)=x^2+x$ — они от итерации не зависят.

Идея метода установления для эллиптического уравнения

Прямая разностная аппроксимация уравнения Пуассона $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$ даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы без явного выделения неизвестного). Поэтому вводим фиктивную производную по времени — превращаем стационарную задачу в нестационарную двумерную параболическую:

$$\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y)=0\ \rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y).$$

Так как и граничные условия, и свободный член $f(x,y)$ не зависят от времени, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$.

Явная схема — метод простой итерации

Записываем явную разностную схему (все пространственные операторы на известном слое $n$), при $h_x=h_y=h$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\sigma\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^{2}}\le\dfrac{1}{4\sigma}$.

Шаг итерации

Берут максимально допустимый (предельный) шаг — это и определяет шаг итерации:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}.$$

Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражая $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляя $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$, получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^{2}}{4\sigma}\,f(x_j,y_k).$$

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)$. Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

Граничные узлы на каждой итерации берут из ГУ 1-го рода (они от итерации не меняются). Условная устойчивость явной схемы вынуждает брать мелкий шаг $\Delta t$, поэтому итераций требуется $n\sim 1/h^{2}$.

---

1. Приведение к стандартному виду $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$

Уравнение $1.5\,(u_{xx}+u_{yy})=x+3$ переносим в стандартный вид (вторые производные — слева с плюсом, остальное — в свободный член):

$$1.5\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f(x,y)=0,\qquad \sigma=1.5,\quad f(x,y)=-\left(x+3\right).$$

То есть $f(x_j,y_k)=-(x_j+3)$.

2. Фиктивная производная и явная схема (простая итерация)

Вводим фиктивную производную: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}=1.5(\widetilde u_{xx}+\widetilde u_{yy})+f(x,y)$. Явная разностная схема ($h_x=h_y=h$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=1.5\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

3. Шаг итерации

Из условия устойчивости $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}$ берут предельный (максимальный) шаг:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}=\frac{h^2}{4\cdot1.5}=\frac{h^2}{6}.$$

4. Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляем $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$ — получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^2}{4\cdot1.5}=\frac{h^2}{6}\cdot\bigl(-(x_j+3)\bigr).$$

5. Условие окончания итераций

Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

6. Начальное приближение

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-(x_j+3)$ (во внутренних узлах). Граничные узлы на всех итерациях берут из ГУ 1-го рода: $u(0,y)=0,\ u(1,y)=1+\tfrac{y^2}{3},\ u(x,0)=x^2,\ u(x,1)=x^2+\tfrac{x}{3}$ — они от итерации не зависят.

Идея метода установления для эллиптического уравнения

Прямая разностная аппроксимация уравнения Пуассона $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$ даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы без явного выделения неизвестного). Поэтому вводим фиктивную производную по времени — превращаем стационарную задачу в нестационарную двумерную параболическую:

$$\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y)=0\ \rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y).$$

Так как и граничные условия, и свободный член $f(x,y)$ не зависят от времени, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$.

Явная схема — метод простой итерации

Записываем явную разностную схему (все пространственные операторы на известном слое $n$), при $h_x=h_y=h$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\sigma\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^{2}}\le\dfrac{1}{4\sigma}$.

Шаг итерации

Берут максимально допустимый (предельный) шаг — это и определяет шаг итерации:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}.$$

Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражая $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляя $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$, получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^{2}}{4\sigma}\,f(x_j,y_k).$$

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)$. Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

Граничные узлы на каждой итерации берут из ГУ 1-го рода (они от итерации не меняются). Условная устойчивость явной схемы вынуждает брать мелкий шаг $\Delta t$, поэтому итераций требуется $n\sim 1/h^{2}$.

---

1. Приведение к стандартному виду $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$

Уравнение $1\,(u_{xx}+u_{yy})=\dfrac{2x}{(y+1)^3}$ переносим в стандартный вид (вторые производные — слева с плюсом, остальное — в свободный член):

$$1\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f(x,y)=0,\qquad \sigma=1,\quad f(x,y)=-\left(\dfrac{2x}{(y+1)^3}\right).$$

То есть $f(x_j,y_k)=-\dfrac{2x_j}{(y_k+1)^3}$.

2. Фиктивная производная и явная схема (простая итерация)

Вводим фиктивную производную: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}=1(\widetilde u_{xx}+\widetilde u_{yy})+f(x,y)$. Явная разностная схема ($h_x=h_y=h$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=1\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

3. Шаг итерации

Из условия устойчивости $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}$ берут предельный (максимальный) шаг:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}=\frac{h^2}{4\cdot1}=\frac{h^2}{4}.$$

4. Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляем $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$ — получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^2}{4\cdot1}=\frac{h^2}{4}\cdot\bigl(-\dfrac{2x_j}{(y_k+1)^3}\bigr).$$

5. Условие окончания итераций

Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

6. Начальное приближение

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-\dfrac{2x_j}{(y_k+1)^3}$ (во внутренних узлах). Граничные узлы на всех итерациях берут из ГУ 1-го рода: $u(0,y)=0,\ u(1,y)=\tfrac{1}{y+1},\ u(x,0)=x,\ u(x,1)=0.5x$ — они от итерации не зависят.

Идея метода установления для эллиптического уравнения

Прямая разностная аппроксимация уравнения Пуассона $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$ даёт неразрешимую систему (одно уравнение связывает соседние узлы без явного выделения неизвестного). Поэтому вводим фиктивную производную по времени — превращаем стационарную задачу в нестационарную двумерную параболическую:

$$\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y)=0\ \rightarrow\ \frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}\Bigr)+f(x,y).$$

Так как и граничные условия, и свободный член $f(x,y)$ не зависят от времени, при $t\to\infty$ решение «устанавливается»: $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to 0$.

Явная схема — метод простой итерации

Записываем явную разностную схему (все пространственные операторы на известном слое $n$), при $h_x=h_y=h$:

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\sigma\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^{2}}\le\dfrac{1}{4\sigma}$.

Шаг итерации

Берут максимально допустимый (предельный) шаг — это и определяет шаг итерации:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}.$$

Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражая $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляя $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$, получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^{2}}{4\sigma}\,f(x_j,y_k).$$

Начальное приближение и окончание итераций

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)$. Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

Граничные узлы на каждой итерации берут из ГУ 1-го рода (они от итерации не меняются). Условная устойчивость явной схемы вынуждает брать мелкий шаг $\Delta t$, поэтому итераций требуется $n\sim 1/h^{2}$.

---

1. Приведение к стандартному виду $\sigma(u_{xx}+u_{yy})+f=0$

Уравнение $1.75\,(u_{xx}+u_{yy})=7$ переносим в стандартный вид (вторые производные — слева с плюсом, остальное — в свободный член):

$$1.75\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f(x,y)=0,\qquad \sigma=1.75,\quad f(x,y)=-\left(7\right).$$

То есть $f(x_j,y_k)=-7$.

2. Фиктивная производная и явная схема (простая итерация)

Вводим фиктивную производную: $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}=1.75(\widetilde u_{xx}+\widetilde u_{yy})+f(x,y)$. Явная разностная схема ($h_x=h_y=h$):

$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=1.75\Bigl(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^{2}}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^{2}}\Bigr)+f(x_j,y_k).$$

3. Шаг итерации

Из условия устойчивости $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}$ берут предельный (максимальный) шаг:

$$\Delta t=\frac{h^{2}}{4\sigma}=\frac{h^2}{4\cdot1.75}=\frac{h^2}{7}.$$

4. Итерационное соотношение (с учётом шага)

Выражаем $u_{j,k}^{n+1}$ и подставляем $\Delta t=\dfrac{h^2}{4\sigma}$ — получаем формулу простой итерации:

$$u_{j,k}^{n+1}=\frac{u_{j+1,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}+u_{j,k+1}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{4}+\frac{h^2}{4\cdot1.75}=\frac{h^2}{7}\cdot\bigl(-7\bigr).$$

5. Условие окончания итераций

Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет $\le\varepsilon$:

$$\bigl\|u^{n+1}-u^{n}\bigr\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\bigl(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\bigr)^{2}}\le\varepsilon.$$

6. Начальное приближение

Нулевая итерация — свободный член: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-7$ (во внутренних узлах). Граничные узлы на всех итерациях берут из ГУ 1-го рода: $u(0,y)=y^2,\ u(1,y)=(y-1)^2,\ u(x,0)=x^2,\ u(x,1)=(x-1)^2$ — они от итерации не зависят.