Подробные решения задач раздела методами курса. Условия задач и весь список — на странице «Задачник».
$\dfrac{du}{dt} = e^t \cdot u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = e$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt} = e^{t}\,u,\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=e,\qquad \tau=0{,}1.$$Правая часть: $f(t,u)=e^{t}\,u$. Применяем метод Рунге-Кутта 2-го порядка (первый набор параметров $\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=e$:
$$k_1=f(0,\,e)=e^{0}\cdot e = 1\cdot e = e \approx 2{,}7182818.$$Шаг 2. Вычисляем промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}05$:
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = e + 0{,}05\cdot e = 1{,}05\,e \approx 2{,}8541959,$$ $$k_2=f(0{,}05,\ 2{,}8541959)=e^{0{,}05}\cdot 2{,}8541959 = 1{,}0512711\cdot 2{,}8541959 \approx 3{,}0005337.$$Шаг 3. Находим решение в точке $t^{0}+\tau=0{,}1$:
$$u(0{,}1)=u^{1}=u^{0}+\tau k_2 = e + 0{,}1\cdot 3{,}0005337 \approx 2{,}7182818 + 0{,}3000534.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(0{,}1)\approx 3{,}0183352\,}$$$\dfrac{du}{dt} = t \cdot u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt} = t\,u,\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=1,\qquad \tau=0{,}1.$$Правая часть: $f(t,u)=t\,u$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=1$:
$$k_1=f(0,\,1)=0\cdot 1 = 0.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}05$:
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 1 + 0{,}05\cdot 0 = 1,$$ $$k_2=f(0{,}05,\ 1)=0{,}05\cdot 1 = 0{,}05.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=0{,}1$:
$$u(0{,}1)=u^{0}+\tau k_2 = 1 + 0{,}1\cdot 0{,}05 = 1 + 0{,}005.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(0{,}1)= 1{,}005\,}$$$2\dfrac{du}{dt} = e^t + u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано уравнение $2\dfrac{du}{dt}=e^{t}+u$. Приводим к нормальному виду $\dfrac{du}{dt}=f(t,u)$:
$$\frac{du}{dt} = \frac{e^{t}+u}{2},\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=1,\qquad \tau=0{,}1.$$Правая часть: $f(t,u)=\dfrac{e^{t}+u}{2}$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=1$:
$$k_1=f(0,\,1)=\frac{e^{0}+1}{2}=\frac{1+1}{2}=1.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}05$:
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 1 + 0{,}05\cdot 1 = 1{,}05,$$ $$k_2=f(0{,}05,\ 1{,}05)=\frac{e^{0{,}05}+1{,}05}{2}=\frac{1{,}0512711+1{,}05}{2}=\frac{2{,}1012711}{2}\approx 1{,}0506355.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=0{,}1$:
$$u(0{,}1)=u^{0}+\tau k_2 = 1 + 0{,}1\cdot 1{,}0506355 = 1 + 0{,}1050636.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(0{,}1)\approx 1{,}1050636\,}$$$\dfrac{du}{dt} = 3t^2 e^t + u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 0$, $\quad \tau = 1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt} = 3t^{2}e^{t}+u,\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=0,\qquad \tau=1.$$Правая часть: $f(t,u)=3t^{2}e^{t}+u$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=0$:
$$k_1=f(0,\,0)=3\cdot 0^{2}\cdot e^{0}+0 = 0.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}5$ (шаг $\tau=1$):
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 0 + 0{,}5\cdot 1\cdot 0 = 0,$$ $$k_2=f(0{,}5,\ 0)=3\cdot 0{,}5^{2}\cdot e^{0{,}5}+0 = 3\cdot 0{,}25\cdot 1{,}6487213 = 0{,}75\cdot 1{,}6487213 \approx 1{,}2365410.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=1$:
$$u(1)=u^{0}+\tau k_2 = 0 + 1\cdot 1{,}2365410.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(1)\approx 1{,}2365410\,}$$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{u}{2t}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=1) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием (начальная точка $t^{0}=1$):
$$\frac{du}{dt} = \frac{u}{2t},\qquad u(t^{0}=1)=u^{0}=1,\qquad \tau=0{,}1.$$Правая часть: $f(t,u)=\dfrac{u}{2t}$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=1,\ u^{0}=1$:
$$k_1=f(1,\,1)=\frac{1}{2\cdot 1}=0{,}5.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=1+0{,}05=1{,}05$:
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 1 + 0{,}05\cdot 0{,}5 = 1{,}025,$$ $$k_2=f(1{,}05,\ 1{,}025)=\frac{1{,}025}{2\cdot 1{,}05}=\frac{1{,}025}{2{,}1}\approx 0{,}4880952.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=1{,}1$:
$$u(1{,}1)=u^{0}+\tau k_2 = 1 + 0{,}1\cdot 0{,}4880952 = 1 + 0{,}0488095.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(1{,}1)\approx 1{,}0488095\,}$$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u}{t+3}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 9$, $\quad \tau = 1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt} = \frac{2u}{t+3},\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=9,\qquad \tau=1.$$Правая часть: $f(t,u)=\dfrac{2u}{t+3}$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=9$:
$$k_1=f(0,\,9)=\frac{2\cdot 9}{0+3}=\frac{18}{3}=6.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}5$ (шаг $\tau=1$):
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 9 + 0{,}5\cdot 1\cdot 6 = 12,$$ $$k_2=f(0{,}5,\ 12)=\frac{2\cdot 12}{0{,}5+3}=\frac{24}{3{,}5}\approx 6{,}8571429.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=1$:
$$u(1)=u^{0}+\tau k_2 = 9 + 1\cdot 6{,}8571429.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(1)\approx 15{,}8571429\,}$$$\dfrac{du}{dt} = u\,t^2$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 1$
Дано ОДУ первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt} = u\,t^{2},\qquad u(t^{0}=0)=u^{0}=1,\qquad \tau=1.$$Правая часть: $f(t,u)=u\,t^{2}$. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка ($\alpha_2=0{,}5,\ \beta_{21}=0{,}5,\ \gamma_1=0,\ \gamma_2=1$):
$$k_1=f(t^{0},u^{0}),\qquad k_2=f\!\left(t^{0}+0{,}5\tau,\ u^{0}+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^{0}+\tau k_2.$$Шаг 1. Вычисляем $k_1$ при $t^{0}=0,\ u^{0}=1$:
$$k_1=f(0,\,1)=1\cdot 0^{2}=0.$$Шаг 2. Промежуточный аргумент и $k_2$ при $t^{0}+0{,}5\tau=0{,}5$ (шаг $\tau=1$):
$$u^{0}+0{,}5\tau k_1 = 1 + 0{,}5\cdot 1\cdot 0 = 1,$$ $$k_2=f(0{,}5,\ 1)=1\cdot 0{,}5^{2}=0{,}25.$$Шаг 3. Решение в точке $t^{0}+\tau=1$:
$$u(1)=u^{0}+\tau k_2 = 1 + 1\cdot 0{,}25.$$ $$\boxed{\,u(t^{0}+\tau)=u(1)= 1{,}25\,}$$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{3u}{t-1}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=2) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{3u}{t-1},\qquad u(t=2)=1,\qquad \tau=0{,}1.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{3u}{t-1}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=2$, $u^0=1$, $\tau=0{,}1$, $0{,}5\tau=0{,}05$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=2{,}05$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=1+0{,}05\cdot 3=1{,}15$.
$$k_2=f(2{,}05,\,1+0{,}05\cdot 3=1{,}15)=\dfrac{3\cdot 1{,}15}{2{,}05-1}=\dfrac{3{,}45}{1{,}05}=\dfrac{23}{7}\approx 3{,}285714$$Ответ: $u(2{,}1)\approx 1{,}328571$.
$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{3u}{t-1}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=3) = 8$, $\quad \tau = 0{,}2$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{3u}{t-1},\qquad u(t=3)=8,\qquad \tau=0{,}2.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{3u}{t-1}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=3$, $u^0=8$, $\tau=0{,}2$, $0{,}5\tau=0{,}1$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=3{,}1$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=8+0{,}1\cdot 12=9{,}2$.
$$k_2=f(3{,}1,\,8+0{,}1\cdot 12=9{,}2)=\dfrac{3\cdot 9{,}2}{3{,}1-1}=\dfrac{27{,}6}{2{,}1}=\dfrac{92}{7}\approx 13{,}142857$$Ответ: $u(3{,}2)\approx 10{,}628571$.
$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{t}{u}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=1) = \sqrt{2}$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{t}{u},\qquad u(t=1)=\sqrt{2},\qquad \tau=0{,}1.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{t}{u}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=1$, $u^0=\sqrt{2}\approx 1{,}414214$, $\tau=0{,}1$, $0{,}5\tau=0{,}05$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=1{,}05$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=\sqrt{2}+0{,}05\cdot 0{,}707107\approx 1{,}449569$.
$$k_2=f(1{,}05,\,\sqrt{2}+0{,}05\cdot 0{,}707107\approx 1{,}449569)=\dfrac{1{,}05}{1{,}449569}\approx 0{,}724353$$Ответ: $u(1{,}1)\approx 1{,}486649$.
$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{12\,t\,u}{2t^3 + 5}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 25$, $\quad \tau = 0{,}5$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{12\,t\,u}{2t^3+5},\qquad u(t=0)=25,\qquad \tau=0{,}5.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{12tu}{2t^3+5}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=0$, $u^0=25$, $\tau=0{,}5$, $0{,}5\tau=0{,}25$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=0{,}25$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=25+0{,}25\cdot 0=25$.
$$k_2=f(0{,}25,\,25+0{,}25\cdot 0=25)=\dfrac{12\cdot 0{,}25\cdot 25}{2\cdot 0{,}25^3+5}=\dfrac{75}{2\cdot 0{,}015625+5}=\dfrac{75}{5{,}03125}\approx 14{,}906832$$Ответ: $u(0{,}5)\approx 32{,}453416$.
$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u}{t-4}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 4$, $\quad \tau = 0{,}2$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{2u}{t-4},\qquad u(t=0)=4,\qquad \tau=0{,}2.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{2u}{t-4}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=0$, $u^0=4$, $\tau=0{,}2$, $0{,}5\tau=0{,}1$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=0{,}1$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=4+0{,}1\cdot(-2)=3{,}8$.
$$k_2=f(0{,}1,\,4+0{,}1\cdot(-2)=3{,}8)=\dfrac{2\cdot 3{,}8}{0{,}1-4}=\dfrac{7{,}6}{-3{,}9}=-\dfrac{76}{39}\approx -1{,}948718$$Ответ: $u(0{,}2)\approx 3{,}610256$.
$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u + 2u\,e^t}{t + e^t}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=\frac{2u+2u\,e^t}{t+e^t},\qquad u(t=0)=1,\qquad \tau=0{,}1.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=\dfrac{2u+2u\,e^t}{t+e^t}$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=0$, $u^0=1$, $\tau=0{,}1$, $0{,}5\tau=0{,}05$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=0{,}05$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=1+0{,}05\cdot 4=1{,}2$.
$$k_2=f(0{,}05,\,1+0{,}05\cdot 4=1{,}2)=\dfrac{2\cdot 1{,}2+2\cdot 1{,}2\cdot e^{0{,}05}}{0{,}05+e^{0{,}05}}=\dfrac{2{,}4+2{,}4\cdot 1{,}051271}{0{,}05+1{,}051271}=\dfrac{4{,}923050}{1{,}101271}\approx 4{,}470335$$Ответ: $u(0{,}1)\approx 1{,}447033$.
$\dfrac{du}{dt} = e^t$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Дано уравнение первого порядка с начальным условием:
$$\frac{du}{dt}=e^t,\qquad u(t=0)=1,\qquad \tau=0{,}1.$$
Требуется найти $u(t^0+\tau)$ методом Рунге-Кутта 2-го порядка.
Правая часть $f(t,u)=e^t$. Используем первый (классический) набор параметров семейства РК-2:
$$\alpha_2=0{,}5,\quad \beta_{21}=0{,}5,\quad \gamma_1=0,\quad \gamma_2=1.$$Расчётные соотношения:
$$k_1=f(t^0,u^0),\qquad k_2=f\!\left(t^0+0{,}5\tau,\; u^0+0{,}5\tau k_1\right),\qquad u^{1}=u^0+\tau k_2.$$Исходные данные: $t^0=0$, $u^0=1$, $\tau=0{,}1$, $0{,}5\tau=0{,}05$.
Аргументы: $t^0+0{,}5\tau=0{,}05$, $\;u^0+0{,}5\tau k_1=1+0{,}05\cdot 1=1{,}05$.
$$k_2=f(0{,}05,\,1+0{,}05\cdot 1=1{,}05)=e^{0{,}05}\approx 1{,}051271\quad(\text{правая часть от }u\text{ не зависит})$$Точное решение $u=e^t$ даёт $u(0{,}1)=e^{0{,}1}\approx 1{,}105171$; совпадение до 4-го знака.
Ответ: $u(0{,}1)\approx 1{,}105127$.