Раздел 2. Определить порядок аппроксимации разностной схемы

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}-0.1\frac{u_{j+1}^{n}-u_j^{n}}{h}=(j-1)h$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}-0.1\frac{\partial u}{\partial x}=x$$

(свободный член $(j-1)h=x_j$ — это $x$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Правая разность по $x$. Из разложения $u_{j+1}^{n}$:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-u_j^{n}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h).$$

Правая конечная разность по координате — первый порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подставляя точное решение и найденные разложения:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)-0.1\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h)\right)=x_j.$$

То есть схема воспроизводит уравнение $u_t-0.1\,u_x=x$ с ошибкой $O(\Delta t)$ по времени и $O(h)$ по координате.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+3\frac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=3n\Delta t$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=3t$$

(свободный член $3n\Delta t=3t^{n}$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Левая разность по $x$. Из разложения $u_{j-1}^{n}$:

$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$\frac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}-\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h).$$

Левая конечная разность по координате — первый порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка даёт:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)+3\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h)\right)=3t^{n}.$$

Уравнение $u_t+3u_x=3t$ воспроизводится с ошибкой $O(\Delta t)$ и $O(h)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+5\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2h}=e^{(j-1)h}$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+5\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}$$

(свободный член $e^{(j-1)h}=e^{x_j}$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Центральная разность по $x$. Вычитая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени складываются, чётные сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}=2\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\frac{2}{3!}\left.\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{6}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Центральная конечная разность по координате — второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка даёт:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)+5\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h^2)\right)=e^{x_j}.$$

Производная по времени — первый порядок, центральная разность по координате — второй порядок.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h^2)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h^2)$$

Первый порядок по времени, второй по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=2\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Оператор второй производной по $x$. Складывая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\frac{2}{4!}\left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Разностный оператор второй производной — второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка даёт явную схему уравнения диффузии:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)=2\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2)\right).$$

Производная по времени — первый порядок, оператор второй производной — второй порядок.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h^2)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h^2)$$

Первый порядок по времени, второй по координате (стандартная явная схема параболического уравнения).

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}-0.1\frac{u_{j+1}^{n}-u_j^{n}}{h}=2\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+0.2(j-1)h$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}-0.1\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+0.2x$$

(свободный член $0.2(j-1)h=0.2x_j$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Правая разность по $x$. Из разложения $u_{j+1}^{n}$:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-u_j^{n}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h).$$

Правая конечная разность по координате — первый порядок по $h$.

Оператор второй производной по $x$. Складывая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\frac{2}{4!}\left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Разностный оператор второй производной — второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка даёт конвективно-диффузионную явную схему:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)-0.1\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h)\right)=2\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2)\right)+0.2x_j.$$

По координате присутствуют ошибки $O(h)$ (правая разность) и $O(h^2)$ (оператор второй производной); итоговый порядок по $x$ определяется наименьшей степенью, то есть $O(h)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате: первый член правой разности $O(h)$ доминирует над $O(h^2)$ оператора второй производной.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+3\frac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=7\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+5e^{n\Delta t}$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+5e^{t}$$

(свободный член $5e^{n\Delta t}=5e^{t^{n}}$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Левая разность по $x$. Из разложения $u_{j-1}^{n}$:

$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$\frac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}-\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h).$$

Левая конечная разность по координате — первый порядок по $h$.

Оператор второй производной по $x$. Складывая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\frac{2}{4!}\left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Разностный оператор второй производной — второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)+3\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h)\right)=7\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2)\right)+5e^{t^{n}}.$$

По координате есть $O(h)$ (левая разность) и $O(h^2)$ (вторая производная); порядок по $x$ — по наименьшей степени, $O(h)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате (левая разность $O(h)$ доминирует).

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2h}=2\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+n\Delta t\,(j-1)h$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+t\,x$$

(свободный член $n\Delta t\,(j-1)h=t^{n}x_j$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Из разложения по $\Delta t$:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

Правая (вперёд) конечная разность по времени даёт первый порядок по $\Delta t$.

Центральная разность по $x$. Вычитая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени складываются, чётные сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}=2\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\frac{2}{3!}\left.\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{6}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Центральная конечная разность по координате — второй порядок по $h$.

Оператор второй производной по $x$. Складывая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\frac{2}{4!}\left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Разностный оператор второй производной — второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)+\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}+O(h^2)\right)=2\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2)\right)+t^{n}x_j.$$

Обе пространственные разности (центральная и оператор второй производной) имеют второй порядок, поэтому по $x$ суммарно $O(h^2)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h^2)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h^2)$$

Первый порядок по времени, второй по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$$

Это схема Кранка–Николсона для уравнения $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$: вторая производная по $x$ берётся как полусумма аппроксимаций на слоях $n$ и $n+1$.

Координата $x$

Оператор второй производной по $x$. Складывая разложения $u_{j+1}^{n}$ и $u_{j-1}^{n}$, нечётные степени сокращаются:

$$u_{j+1}^{n}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$u_{j-1}^{n}=u_j^{n}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2-\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n}h^3+\left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4-\dots$$$$u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}h^2+\frac{2}{4!}\left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^4+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n}+O(h^2).$$

Разностный оператор второй производной — второй порядок по $h$.

Оба слагаемых полусуммы по $x$ дают второй порядок, значит по координате $O(h^2)$.

Время

Деление оператора $\partial^2 u/\partial x^2$ пополам (одна половина на слое $n$, другая на слое $n+1$) означает, что правая часть аппроксимирована относительно «середины» — точки $t^{\,n+1/2}$. Тогда конечная разность слева

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}$$

по отношению к точке $t^{\,n+1/2}$ является центральной разностью по времени с шагом $\Delta t/2$ в каждую сторону. Разложим $u_j^{n+1}$ и $u_j^{n}$ в ряд Тейлора относительно $t^{\,n+1/2}$:

$$u_j^{n+1}=u^{n+1/2}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|^{n+1/2}\frac{\Delta t^2}{4}+\dots$$$$u_j^{n}=u^{n+1/2}-\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|^{n+1/2}\frac{\Delta t}{2}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|^{n+1/2}\frac{\Delta t^2}{4}-\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|^{n+1/2}+O(\Delta t^2).$$

Центральная разность по времени — второй порядок по $\Delta t$.

Итог

Схема Кранка–Николсона аппроксимирует уравнение со вторым порядком и по времени, и по координате:

$$O(\Delta t^2)+O(h^2)\quad\text{или}\quad O(\Delta t^2,\,h^2).$$

Это выше, чем у явной и неявной схем ($O(\Delta t,h^2)$), поэтому результаты точнее.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}-0.6\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.2(j-1)h$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}-0.6\frac{\partial u}{\partial x}=0.2x$$

(свободный член $0.2(j-1)h=0.2x_j$). Это неявная схема (пространственный оператор на слое $n+1$).

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Та же правая разность по времени, её разложение по $\Delta t$ даёт первый порядок:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

В неявной схеме пространственные операторы записаны на слое $(n+1)$; их разложения по $h$ относительно узла $x_j$ полностью аналогичны явному случаю и дают те же порядки по $h$ — неявная схема имеет тот же порядок аппроксимации, что и явная.

Правая разность по $x$ (слой $n+1$).

$$u_{j+1}^{n+1}=u_j^{n+1}+\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}h^2+\dots$$$$\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h).$$

Первый порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)-0.6\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h)\right)=0.2x_j.$$

Производная по времени — $O(\Delta t)$, правая разность по координате — $O(h)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}-0.3\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{2h}=0.4\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}-0.8n\Delta t$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}-0.3\frac{\partial u}{\partial x}=0.4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-0.8t$$

(свободный член $-0.8n\Delta t=-0.8t^{n}$). Это неявная схема.

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Та же правая разность по времени, её разложение по $\Delta t$ даёт первый порядок:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

В неявной схеме пространственные операторы записаны на слое $(n+1)$; их разложения по $h$ относительно узла $x_j$ полностью аналогичны явному случаю и дают те же порядки по $h$ — неявная схема имеет тот же порядок аппроксимации, что и явная.

Центральная разность по $x$ (слой $n+1$). Вычитая разложения $u_{j\pm1}^{n+1}$ относительно $x_j$:

$$\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{2h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+\left.\frac{1}{6}\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\right|_j^{n+1}h^2+\dots=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h^2).$$

Второй порядок по $h$.

Оператор второй производной по $x$ (слой $n+1$). Складывая разложения $u_{j\pm1}^{n+1}$:

$$\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n+1}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+O(h^2).$$

Второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)-0.3\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h^2)\right)=0.4\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+O(h^2)\right)-0.8t^{n}.$$

Обе пространственные разности (центральная и вторая производная) — второй порядок, поэтому по $x$ суммарно $O(h^2)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h^2)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h^2)$$

Первый порядок по времени, второй по координате.

Чтобы определить порядок аппроксимации разностной схемы, подставляем в неё точное решение $u(t,x)$ дифференциального уравнения и раскладываем значения сеточной функции в узлах в ряд Тейлора относительно точки $(t^{n},x_j)$. Главный член разности между разностным и дифференциальным операторами (с наименьшей степенью $\Delta t$ или $h$) задаёт ошибку аппроксимации; её порядок определяет порядок схемы — отдельно по каждой независимой переменной.

Разностная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+5\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+3e^{(j-1)h}$$

Соответствующее дифференциальное уравнение (каждый разностный оператор заменяем дифференциальным, свободный член — функцией непрерывных аргументов):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+5\frac{\partial u}{\partial x}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+3e^{x}$$

(свободный член $3e^{(j-1)h}=3e^{x_j}$). Это неявная схема.

Разложение операторов в ряд Тейлора относительно $(t^{n},x_j)$

Производная по времени. Та же правая разность по времени, её разложение по $\Delta t$ даёт первый порядок:

$$u_j^{n+1}=u_j^{n}+\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}\Delta t+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^{n}\Delta t^2+\left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^3 u}{\partial t^3}\right|_j^{n}\Delta t^3+\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t).$$

В неявной схеме пространственные операторы записаны на слое $(n+1)$; их разложения по $h$ относительно узла $x_j$ полностью аналогичны явному случаю и дают те же порядки по $h$ — неявная схема имеет тот же порядок аппроксимации, что и явная.

Левая разность по $x$ (слой $n+1$).

$$u_{j-1}^{n+1}=u_j^{n+1}-\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}h+\left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}h^2-\dots$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h).$$

Первый порядок по $h$.

Оператор второй производной по $x$ (слой $n+1$). Складывая разложения $u_{j\pm1}^{n+1}$:

$$\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+\left.\frac{1}{12}\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^{n+1}h^2+\dots=\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+O(h^2).$$

Второй порядок по $h$.

Подстановка в схему

Подстановка:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^{n}+O(\Delta t)+5\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^{n+1}+O(h)\right)=2\left(\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^{n+1}+O(h^2)\right)+3e^{x_j}.$$

По координате есть $O(h)$ (левая разность) и $O(h^2)$ (вторая производная); итоговый порядок по $x$ — по наименьшей степени, $O(h)$.

Итог. Главные члены ошибки аппроксимации дают порядок

$$O(\Delta t)+O(h)\quad\text{или}\quad O(\Delta t,\,h)$$

Первый порядок и по времени, и по координате (левая разность $O(h)$ доминирует над $O(h^2)$).