Подробные решения задач раздела методами курса. Условия задач и весь список — на странице «Задачник».
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Здесь схема явная (пространственная производная берётся на слое $n$).
Исходная схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-0{,}1\,\frac{u_{j+1}^n-u_j^n}{h}=(j-1)h.$$Это явная схема для уравнения переноса $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v\dfrac{\partial u}{\partial x}=f$ с аппроксимацией $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ правой разностью и параметром $v=-0{,}1$ (так как $-0{,}1\,(u_{j+1}-u_j)/h=+v\,(u_{j+1}-u_j)/h$ при $v=-0{,}1$). Свободный член $(j-1)h$ искомой функции не содержит — отбрасываем.
Подставляем $u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}$ в однородную схему и делим на $\lambda^n e^{i\alpha j}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}-0{,}1\,\frac{e^{i\alpha}-1}{h}=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=1+0{,}1\frac{\Delta t}{h}\bigl(e^{i\alpha}-1\bigr).$$$\lambda$ комплексно, поэтому условие $|\lambda|\le1$ означает, что точки $\lambda$ лежат в круге радиуса 1 с центром в нуле. Обозначим $r=-v\dfrac{\Delta t}{h}=0{,}1\dfrac{\Delta t}{h}>0$. Тогда
$$\lambda=1-r+r e^{i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1-r,0)$ и радиусом $r$ (так как $|r e^{i\alpha}|=r$). Она целиком лежит в единичном круге тогда и только тогда, когда $r\le 1$:
$$r=0{,}1\frac{\Delta t}{h}\le 1\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta t}{h}\le 10.$$Схема условно устойчива. Условие устойчивости
$$\boxed{\;0<0{,}1\frac{\Delta t}{h}\le 1\quad\Leftrightarrow\quad \Delta t\le 10\,h.\;}$$(Это согласуется с правилом курса: при $v<0$ правая разность даёт условно устойчивую явную схему с условием $-1\le v\,\Delta t/h<0$.)
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема явная.
Схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+2\,\frac{u_{j+1}^n-u_j^n}{h}=3n\Delta t$$— явная схема уравнения переноса с правой разностью и $v=+2>0$. Свободный член $3n\Delta t$ отбрасываем.
Обозначим $q=v\dfrac{\Delta t}{h}=2\dfrac{\Delta t}{h}>0$. Тогда
$$\lambda=1+q-q e^{i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1+q,0)$ и радиусом $q$. Поскольку центр смещён вправо от нуля на $1+q$, эта окружность при любом $q>0$ целиком лежит вне единичного круга (её ближайшая к нулю точка $1+q-q=1$, дальняя $1+2q>1$). Значит $\max|\lambda|=1+2q>1$ при любом $\Delta t>0$.
Условие $|\lambda|\le1$ не выполняется ни при каком соотношении шагов. Схема абсолютно неустойчива (явная правая разность при $v>0$). Для устойчивости при $v>0$ следовало бы взять левую разность.
$$\boxed{\;\text{Схема неустойчива при любых }\Delta t,h.\;}$$Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема явная.
Схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+3\,\frac{u_j^n-u_{j-1}^n}{h}=e^{n\Delta t}$$— явная схема уравнения переноса с левой разностью и $v=+3>0$. Свободный член $e^{n\Delta t}$ искомой функции не содержит — отбрасываем.
Обозначим $r=v\dfrac{\Delta t}{h}=3\dfrac{\Delta t}{h}>0$. Тогда
$$\lambda=1-r+r e^{-i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1-r,0)$ и радиусом $r$. Она лежит в единичном круге тогда и только тогда, когда $r\le 1$ (при $r<1$ — внутри, при $r=1$ — касается границы, при $r>1$ — выходит).
Схема условно устойчива. Условие устойчивости
$$\boxed{\;0<3\frac{\Delta t}{h}\le 1\quad\Leftrightarrow\quad \Delta t\le \frac{h}{3}.\;}$$Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема явная.
Перенесём свободный член вправо:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-4\,\frac{u_j^n-u_{j-1}^n}{h}=-2(j-1)h.$$Это явная схема уравнения переноса $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v\dfrac{\partial u}{\partial x}=f$ с левой разностью и $v=-4<0$ (так как $-4\,(u_j-u_{j-1})/h=+v\,(u_j-u_{j-1})/h$ при $v=-4$). Свободный член $-2(j-1)h$ отбрасываем.
Обозначим $q=-v\dfrac{\Delta t}{h}=4\dfrac{\Delta t}{h}>0$. Тогда
$$\lambda=1+q-q e^{-i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1+q,0)$ и радиусом $q$. Центр смещён вправо на $1+q$, поэтому окружность при любом $q>0$ целиком лежит вне единичного круга (дальняя точка $1+2q>1$).
Схема абсолютно неустойчива (явная левая разность при $v<0$). Для устойчивости при $v<0$ нужна правая разность.
$$\boxed{\;\text{Схема неустойчива при любых }\Delta t,h.\;}$$Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема явная (параболическое уравнение, оператор по $x$ на слое $n$).
Разделим на коэффициент $3$ при производной по времени:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=\frac{7}{3}\,\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{h^2}-\frac{2}{3}h^2(j-1)^2.$$Это явная схема уравнения теплопроводности $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\sigma\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f$ с $\sigma=\dfrac{7}{3}$. Свободный член отбрасываем.
Подставляем $u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}$ и делим на $\lambda^n e^{i\alpha j}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=\frac{7}{3}\,\frac{e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}}{h^2}.$$Используем тождество
$$e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}=2\cos\alpha-2=-4\sin^2\frac{\alpha}{2}.$$$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=\frac{7}{3}\,\frac{-4\sin^2\frac{\alpha}{2}}{h^2}\quad\Rightarrow\quad \lambda=1-\frac{28}{3}\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}.$$$\lambda$ вещественно. Правое неравенство $\lambda\le1$ выполнено всегда (вычитаемое $\ge0$). Левое неравенство при $\sin^2\frac{\alpha}{2}=1$ (худший случай):
$$1-\frac{28}{3}\frac{\Delta t}{h^2}\ge-1\quad\Rightarrow\quad \frac{28}{3}\frac{\Delta t}{h^2}\le 2\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta t}{h^2}\le\frac{3}{14}.$$Схема условно устойчива. Условие устойчивости
$$\boxed{\;\frac{\Delta t}{h^2}\le\frac{1}{2\sigma}=\frac{3}{14}\approx 0{,}214.\;}$$Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема явная; свободный член содержит искомую функцию ($-2u_j^n$), поэтому его оставляем при анализе.
Здесь $\sigma=5$, реакционный член $-2u$ берётся на слое $n$ (явно).
Используем тождество
$$e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}=2\cos\alpha-2=-4\sin^2\frac{\alpha}{2}.$$$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=5\,\frac{-4\sin^2\frac{\alpha}{2}}{h^2}-2\quad\Rightarrow\quad \lambda=1-\frac{20\,\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}-2\Delta t.$$$\lambda$ вещественно. Правое неравенство $\lambda\le1$ выполнено всегда. Левое неравенство $\lambda\ge-1$ в худшем случае $\sin^2\frac{\alpha}{2}=1$:
$$1-\frac{20\,\Delta t}{h^2}-2\Delta t\ge-1\quad\Rightarrow\quad \Delta t\!\left(\frac{20}{h^2}+2\right)\le 2.$$$$\Rightarrow\quad \Delta t\le\frac{2}{\dfrac{20}{h^2}+2}=\frac{h^2}{10+h^2}.$$Схема условно устойчива. Условие устойчивости
$$\boxed{\;\Delta t\le\frac{h^2}{10+h^2}.\;}$$Наличие $-2u$ лишь ужесточает ограничение по сравнению с чистой теплопроводностью ($\Delta t\le h^2/10$): знаменатель вырос с $10$ до $10+h^2$. Например, при $h=0{,}1$: $\Delta t\le 0{,}01/10{,}01\approx 9{,}99\cdot10^{-4}$.
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема неявная (оператор по $x$ и член $-3u$ берутся на слое $n+1$), поэтому в операторных членах появится множитель $\lambda^{n+1}$.
$\sigma=0{,}12$; член $-3u$ — на слое $n+1$. Свободный член $2n\Delta t$ отбрасываем.
Подставляем $u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}$; в правой части появляется $\lambda^{n+1}$, делим на $\lambda^n e^{i\alpha j}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=0{,}12\,\lambda\,\frac{e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}}{h^2}-3\lambda.$$Используем тождество
$$e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}=2\cos\alpha-2=-4\sin^2\frac{\alpha}{2}.$$$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=-0{,}12\,\lambda\,\frac{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}{h^2}-3\lambda.$$Собираем члены с $\lambda$:
$$\lambda-1=-\frac{0{,}48\,\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}\,\lambda-3\Delta t\,\lambda\;\Rightarrow\;\lambda\!\left(1+\frac{0{,}48\,\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}+3\Delta t\right)=1.$$$$\boxed{\;\lambda=\dfrac{1}{1+\dfrac{0{,}48\,\Delta t}{h^2}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+3\Delta t}.\;}$$В знаменателе — единица плюс заведомо неотрицательные слагаемые (при $\Delta t>0$, $h>0$, $\sin^2\frac{\alpha}{2}\ge0$). Значит знаменатель $\ge1$, и $0<\lambda\le1$, то есть $|\lambda|\le1$ при любых $\Delta t$ и $h$.
Схема абсолютно устойчива. Член $-3u$ только увеличивает знаменатель — устойчивости не нарушает.
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема неявная (производная по $x$ берётся на слое $n+1$) — появится множитель $\lambda^{n+1}$.
Схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-6\,\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=2n\Delta t\,(j-1)h$$— неявная схема переноса с правой разностью и $v=-6<0$. Свободный член отбрасываем.
Выразим обратную величину:
$$\frac{1}{\lambda}=1-6\frac{\Delta t}{h}+6\frac{\Delta t}{h}e^{i\alpha}.$$Для неявных схем условие $|\lambda|\le1$ удобно переписать как $\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1$: обратные множителю величины должны лежать вне (или на границе) единичного круга. Обозначим $r=-v\dfrac{\Delta t}{h}=6\dfrac{\Delta t}{h}>0$:
$$\frac{1}{\lambda}=1+r-r e^{i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1+r,0)$ и радиусом $r$. Её ближайшая к нулю точка имеет абсциссу $1+r-r=1$, поэтому при любом $r>0$ окружность целиком лежит вне единичного круга: $\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1$, значит $|\lambda|\le1$.
Схема абсолютно устойчива при любых $\Delta t$ и $h$ (неявная правая разность при $v<0$).
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема неявная (производная по $x$ на слое $n+1$).
Схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+7\,\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=13(j-1)h$$— неявная схема переноса с левой разностью и $v=+7>0$. Свободный член отбрасываем.
Условие $|\lambda|\le1\Leftrightarrow\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1$. Обозначим $r=v\dfrac{\Delta t}{h}=7\dfrac{\Delta t}{h}>0$:
$$\frac{1}{\lambda}=1+r-r e^{-i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1+r,0)$ и радиусом $r$; ближайшая к нулю точка — $1$. При любом $r>0$ она лежит вне единичного круга, поэтому $\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1$ и $|\lambda|\le1$.
Схема абсолютно устойчива при любых $\Delta t$ и $h$ (неявная левая разность при $v>0$).
Погрешность решения удовлетворяет той же разностной схеме, что и сама функция, поэтому свободный член отбрасываем (он не влияет на устойчивость, если не содержит искомую функцию $u$) и подставляем гармонику
$$z_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j},$$где $\lambda$ — множитель перехода. Необходимое условие устойчивости — $|\lambda|\le 1$. Схема неявная; свободный член содержит искомую функцию ($-3u_j^{n+1}$), поэтому член $-3u$ оставляем (берётся на слое $n+1$).
Схема
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+8\,\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=11n\Delta t-3u_j^{n+1}$$— неявная схема переноса с левой разностью, $v=+8>0$, плюс реакционный член $-3u$ ($k=3$). Слагаемое $11n\Delta t$ искомой функции не содержит — отбрасываем.
Условие $\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1$. Обозначим $r=v\dfrac{\Delta t}{h}=8\dfrac{\Delta t}{h}>0$ и $k\Delta t=3\Delta t>0$:
$$\frac{1}{\lambda}=1+k\Delta t+r-r e^{-i\alpha}=\bigl(1+3\Delta t+r\bigr)-r e^{-i\alpha}.$$Это окружность радиуса $r$ с центром в точке $(1+3\Delta t+r,\,0)$. Наличие реакционного члена лишь сдвигает центр ещё дальше вправо (на $k\Delta t=3\Delta t$). Ближайшая к нулю точка имеет абсциссу $1+3\Delta t+r-r=1+3\Delta t\ge1$. Поэтому при любых $\Delta t,h>0$ окружность лежит вне единичного круга: $\left|\dfrac{1}{\lambda}\right|\ge1\Rightarrow|\lambda|\le1$.
Схема абсолютно устойчива при любых $\Delta t$ и $h$. Реакционный член $-3u$ (при $k\ge0$) абсолютную устойчивость неявной схемы не нарушает, а лишь усиливает её.
Уравнение — одномерное параболическое $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f$ с коэффициентом диффузии $\sigma=1$, но в схеме пространственная производная разбита пополам: половина взята на слое $n$, половина — на слое $(n+1)$. Это схема Кранка–Николсона. Каждое из двух слагаемых имеет множитель $\tfrac12$, то есть здесь $\sigma=1$, а каждое полуслагаемое содержит $\tfrac{\sigma}{2}=\tfrac12$.
Член $(j-1)^2h^2$ не содержит искомую функцию и не влияет на устойчивость. Однородная схема:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+\frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$$Делим на $\lambda^n e^{i\alpha j}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=\frac{1}{2h^2}\bigl(e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}\bigr)+\frac{\lambda}{2h^2}\bigl(e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}\bigr)$$Введём обозначение $p=\dfrac{2\Delta t}{h^2}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\ge 0$ (здесь $\sigma=1$, поэтому $2\sigma\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}=2\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}=p$). Тогда
$$\lambda-1=-p\,(1+\lambda)\ \Rightarrow\ \lambda(1+p)=1-p\ \Rightarrow\ \boxed{\lambda=\frac{1-p}{1+p}}$$Поскольку $p\ge0$, числитель $1-p$ по модулю не превосходит знаменателя $1+p$:
$$|1-p|\le 1+p\ \Rightarrow\ \left|\frac{1-p}{1+p}\right|\le 1\quad\text{при любом }p\ge0.$$Неравенство выполняется при любых $\Delta t>0$ и $h>0$ — ограничений на шаги сетки нет.
Схема Кранка–Николсона абсолютно (безусловно) устойчива. Числитель по абсолютной величине всегда меньше знаменателя (этим она отличается от явной схемы, где появлялась разность $1-\tfrac{4\sigma\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}$, способная стать $<-1$).
Уравнение параболического типа с первой производной по координате: $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v\dfrac{\partial u}{\partial x}=\sigma\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f$, где $v=2>0$, $\sigma=9$. Первая производная аппроксимирована левой разностью (верный выбор при $v>0$), вторая — центральной; все члены на слое $n$ — схема явная.
$-3n\Delta t$ не содержит $u$ и не влияет на устойчивость:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+2\frac{u_j^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=9\frac{u_{j+1}^{n}-2u_j^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}$$Выражаем $\lambda$:
$$\lambda=1-2\frac{\Delta t}{h}-36\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\frac{\Delta t}{h}e^{-i\alpha}$$$\lambda$ — комплексное, поэтому условие $|\lambda|\le1$ означает, что точки $\lambda$ должны лежать внутри или на границе единичного круга. Введём
$$r=2\frac{\Delta t}{h}>0,\qquad q=2\frac{\Delta t}{h}+36\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}>0\ \Rightarrow\ \lambda=1-q+r\,e^{-i\alpha}.$$Это окружность с центром в точке $(1-q,\,0)$ и радиусом $|r\,e^{-i\alpha}|=r$. Чтобы вся окружность лежала в единичном круге, её левый край не должен выходить за $-1$:
$$-1\le (1-q)-r\ \Rightarrow\ q+r\le 2.$$Подставляя $q+r=2\cdot 2\tfrac{\Delta t}{h}\cdots$ — точнее, $q+r=\Bigl(2\tfrac{\Delta t}{h}+36\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\Bigr)+2\tfrac{\Delta t}{h}$:
$$2\cdot 2\frac{\Delta t}{h}+36\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}\le 2\ \Rightarrow\ 2\frac{\Delta t}{h}+18\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}\le 1.$$Самое строгое требование (для любого $\alpha$):
$$\boxed{\,2\frac{\Delta t}{h}+18\frac{\Delta t}{h^2}\le 1\,}\qquad\Bigl(\text{общий вид }v\tfrac{\Delta t}{h}+2\sigma\tfrac{\Delta t}{h^2}\le1\Bigr)$$Схема условно устойчива. Например, при $h=10^{-1}$: $2\cdot10\,\Delta t+18\cdot10^{2}\,\Delta t=20\,\Delta t+1800\,\Delta t=1820\,\Delta t\le1$, откуда $\Delta t\le\dfrac{1}{1820}\approx5{,}5\cdot10^{-4}$.
Параболическое уравнение с первой производной по координате: $v=3>0$, $\sigma=8$. Все пространственные члены берутся на слое $(n+1)$ — схема неявная. Первая производная — левая разность (верный выбор при $v>0$).
$-4n\Delta t$ не влияет на устойчивость:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+3\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=8\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$$Все пространственные члены на слое $(n+1)$ дают множитель $\lambda$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}+3\frac{\lambda-\lambda e^{-i\alpha}}{h}=8\frac{\lambda\bigl(e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}\bigr)}{h^2}$$Введём $r=3\dfrac{\Delta t}{h}>0$ и $q=3\dfrac{\Delta t}{h}+32\dfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}>0$:
$$\frac{1}{\lambda}=1+q-r\,e^{-i\alpha}.$$Точки $1/\lambda$ лежат на окружности с центром $(1+q,\,0)$ и радиусом $r$. Так как $q\ge r$ (различие — слагаемое $32\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\ge0$), то $1+q>r$, и окружность целиком лежит вне единичного круга при любом $r$. Значит $|1/\lambda|\ge1$, т.е. $|\lambda|\le1$ всегда.
Неявная схема абсолютно (безусловно) устойчива — ограничений на $\Delta t$ и $h$ нет.
Запишем уравнение в каноническом виде. Член $-5\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$ аппроксимирует $-5\dfrac{\partial u}{\partial x}$, то есть $\dfrac{\partial u}{\partial t}-5\dfrac{\partial u}{\partial x}=\sigma\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f$. Здесь $v=-5<0$ (коэффициент при $u_x$ слева $=-5$), $\sigma=6$. При $v<0$ правильна правая разность — она и использована. Все члены на слое $n$ — схема явная.
Выражаем $\lambda$:
$$\lambda=1-5\frac{\Delta t}{h}-24\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}+5\frac{\Delta t}{h}e^{i\alpha}$$Введём $r=5\dfrac{\Delta t}{h}>0$ (это $|v|\tfrac{\Delta t}{h}$) и $q=5\dfrac{\Delta t}{h}+24\dfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}>0$:
$$\lambda=1-q+r\,e^{i\alpha}.$$Это окружность с центром $(1-q,\,0)$ и радиусом $r$. Чтобы она не выходила за единичный круг слева:
$$-1\le (1-q)-r\ \Rightarrow\ q+r\le 2.$$$q+r=\Bigl(5\tfrac{\Delta t}{h}+24\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\Bigr)+5\tfrac{\Delta t}{h}=10\tfrac{\Delta t}{h}+24\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\le2$, то есть $5\tfrac{\Delta t}{h}+12\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\le1$.
Схема условно устойчива. При $h=10^{-1}$: $5\cdot10\,\Delta t+12\cdot10^{2}\,\Delta t=50\,\Delta t+1200\,\Delta t=1250\,\Delta t\le1$, откуда $\Delta t\le\dfrac{1}{1250}=8\cdot10^{-4}$ (численная проверка даёт $|\lambda|_{\max}=1$ ровно на этой границе).
Член $-9\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$ аппроксимирует $-9\dfrac{\partial u}{\partial x}$, поэтому $v=-9<0$; коэффициент диффузии $\sigma=13$. Дополнительно справа стоит реакционный член $-u_j^{n+1}$ (то есть $-ku$ с $k=1$), содержащий искомую функцию — его учитываем. Свободный член $-7(j-1)^2h^2$ функции не содержит и отбрасывается. Все члены на слое $(n+1)$ — схема неявная; при $v<0$ верна правая разность (она и взята).
Все правые члены на слое $(n+1)$ дают множитель $\lambda$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}-9\frac{\lambda e^{i\alpha}-\lambda}{h}=13\frac{\lambda\bigl(e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}\bigr)}{h^2}-\lambda$$Введём $r=9\dfrac{\Delta t}{h}>0$ и $q=\Delta t+9\dfrac{\Delta t}{h}+52\dfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}>0$:
$$\frac{1}{\lambda}=1+q-r\,e^{i\alpha}.$$Точки $1/\lambda$ — на окружности с центром $(1+q,\,0)$ и радиусом $r$. Так как $q\ge r$ (различие — слагаемые $\Delta t+52\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\ge0$), центр $1+q>r$, и окружность целиком вне единичного круга при любом $r$. Значит $|1/\lambda|\ge1$ всегда.
Неявная схема абсолютно устойчива. Реакционный член $-u_j^{n+1}$ (взятый на слое $n+1$, $k=1>0$) лишь сдвигает центр окружности ещё правее (слагаемое $+\Delta t$ в $q$), что только усиливает устойчивость и её не нарушает.
Уравнение 1-го порядка $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v\dfrac{\partial u}{\partial x}=f$, $v=7>0$, без диффузии. Первая производная аппроксимирована центральной разностью $\dfrac{u_{j+1}-u_{j-1}}{2h}$; все члены на слое $n$ — схема явная.
$n^2\Delta t^2$ не содержит $u$:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+7\frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2h}=0$$В отличие от $-4\sin^2$, здесь возникает мнимая величина: $e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin\alpha$. Тогда
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{7}{2h}\,2i\sin\alpha=-\frac{7i\sin\alpha}{h}\ \Rightarrow\ \lambda=1-i\,\frac{7\Delta t}{h}\sin\alpha.$$Обозначим $r=\dfrac{7\Delta t}{h}$. Число $\lambda=1-i\,r\sin\alpha$ имеет вещественную часть $1$ и мнимую $-r\sin\alpha$:
$$|\lambda|=\sqrt{1+r^2\sin^2\alpha}\ \ge\ 1.$$Геометрически: точки $\lambda$ лежат на вертикальном отрезке прямой $\mathrm{Re}\,\lambda=1$ (касательной к единичной окружности справа в точке $(1,0)$). Любая точка этого отрезка, кроме самой $(1,0)$ при $\sin\alpha=0$, лежит вне единичного круга.
При $\sin\alpha\ne0$ имеем $|\lambda|>1$ — необходимое условие $|\lambda|\le1$ нарушается при любых $\Delta t>0$, $h>0$. Явная схема с центральной разностью для уравнения 1-го порядка безусловно (абсолютно) неустойчива. (Численно: при $r=1$ максимум $|\lambda|=\sqrt2\approx1{,}41$.) Это типичный результат: чисто конвективное уравнение центральной разностью на явной схеме устойчиво сделать нельзя — нужна разность «против потока» (левая при $v>0$) или диффузионный/неявный член.
Параболическое уравнение с первой производной: $v=3$, $\sigma=4$. Первая производная — центральная разность $\dfrac{u_{j+1}-u_{j-1}}{2h}$; все члены на слое $(n+1)$ — схема неявная.
$5e^{(j-1)h}$ функции не содержит:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+3\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{2h}=4\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$$Все правые члены на слое $(n+1)$ дают $\lambda$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}+3\frac{\lambda\bigl(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}\bigr)}{2h}=4\frac{\lambda\bigl(e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}\bigr)}{h^2}$$Центральная разность: $e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin\alpha$; вторая производная: $e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}=-4\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}+3\frac{\lambda\,i\sin\alpha}{h}=-\frac{16\lambda}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}$$Вещественная часть $1/\lambda$ не меньше $1$ (диффузия даёт $+16\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\ge0$), поэтому модуль
$$\left|\frac{1}{\lambda}\right|=\sqrt{\Bigl(1+16\tfrac{\Delta t}{h^2}\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\Bigr)^2+\Bigl(3\tfrac{\Delta t}{h}\sin\alpha\Bigr)^2}\ \ge\ 1$$при любых $\Delta t>0$, $h>0$. Значит $|\lambda|\le1$ всегда.
Неявная схема абсолютно устойчива. Хотя центральная разность сама по себе (как в задаче 3.16) даёт неустойчивость на явной схеме, здесь её мнимый вклад лишь добавляется к вещественной части $\ge1$ величины $1/\lambda$ — наличие диффузионного члена на слое $(n+1)$ гарантирует $|1/\lambda|\ge1$, т.е. устойчивость (численно $|\lambda|_{\max}=1$).
Двумерное параболическое уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\sigma\Bigl(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}\Bigr)+f$ с $\sigma=9$. Обе вторые производные на слое $n$ — схема явная, шаги $h_x=h_y=h$.
$(j-1)(k-1)h^2$ функции не содержит:
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^n}{\Delta t}=9\!\left(\frac{u_{j+1,k}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j-1,k}^{n}}{h^2}+\frac{u_{j,k+1}^{n}-2u_{j,k}^{n}+u_{j,k-1}^{n}}{h^2}\right)$$Делим на $\lambda^n e^{i\alpha j}e^{i\beta k}$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=9\!\left(\frac{e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}}{h^2}+\frac{e^{i\beta}-2+e^{-i\beta}}{h^2}\right)$$$e^{i\alpha}-2+e^{-i\alpha}=-4\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ и аналогично по $\beta$:
$$\frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{36}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}-\frac{36}{h^2}\sin^2\frac{\beta}{2}$$$$\lambda=1-36\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}-36\frac{\Delta t}{h^2}\sin^2\frac{\beta}{2}$$$\lambda$ вещественно. Правое неравенство $\lambda\le1$ выполнено автоматически (вычитаемое $\ge0$). Левое:
$$1-36\frac{\Delta t}{h^2}\Bigl(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}\Bigr)\ge-1\ \Rightarrow\ \frac{\Delta t}{h^2}\Bigl(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}\Bigr)\le\frac{1}{18}.$$Схема условно устойчива: $\dfrac{\Delta t}{h^2}\le\dfrac{1}{4\sigma}=\dfrac{1}{36}$. При $h=10^{-1}$: $\Delta t\le\dfrac{10^{-2}}{36}\approx2{,}78\cdot10^{-4}$. Сравнение с одномерным случаем ($\tfrac{\Delta t}{h^2}\le\tfrac{1}{2\sigma}$): рост размерности вдвое ужесточает ограничение на $\Delta t$.
Двумерное уравнение 1-го порядка $\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+v_2\dfrac{\partial u}{\partial y}=f$ с $v_1=6>0$, $v_2=1>0$. Обе производные — левые разности (верный выбор при $v_1,v_2>0$), все члены на слое $n$ — схема явная, $h_x=h_y=h$.
Выражаем $\lambda$:
$$\lambda=1-6\frac{\Delta t}{h}-\frac{\Delta t}{h}+6\frac{\Delta t}{h}e^{-i\alpha}+\frac{\Delta t}{h}e^{-i\beta}$$Введём $r_1=6\dfrac{\Delta t}{h}>0$, $r_2=\dfrac{\Delta t}{h}>0$, $r=r_1+r_2=7\dfrac{\Delta t}{h}$:
$$\lambda=1-r+r_1e^{-i\alpha}+r_2e^{-i\beta}.$$Выражение содержит две фазы; рассмотрим (как в методичке, гл. 8.1.2) наихудший простой случай $\alpha=\beta$:
$$\lambda=1-r+(r_1+r_2)e^{-i\alpha}=1-r+r\,e^{-i\alpha}.$$Это окружность с центром $(1-r,\,0)$ и радиусом $|r e^{-i\alpha}|=r$. Три случая: при $r<1$ — внутри единичного круга, при $r=1$ — на границе, при $r>1$ — выходит за круг.
Схема условно устойчива: $6\dfrac{\Delta t}{h}+\dfrac{\Delta t}{h}=7\dfrac{\Delta t}{h}\le1$. При $h=10^{-1}$: $\Delta t\le\dfrac{h}{7}=\dfrac{0{,}1}{7}\approx1{,}43\cdot10^{-2}$ (численно $|\lambda|_{\max}=1$ ровно на границе).
Двумерное уравнение 1-го порядка. Члены $-3\dfrac{u_{j+1,k}-u_{j,k}}{h}$ и $-2\dfrac{u_{j,k+1}-u_{j,k}}{h}$ аппроксимируют $-3\dfrac{\partial u}{\partial x}-2\dfrac{\partial u}{\partial y}$, то есть $\dfrac{\partial u}{\partial t}-3\dfrac{\partial u}{\partial x}-2\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dots=0$. Значит $v_1=-3<0$, $v_2=-2<0$; обе производные взяты правыми разностями (верный выбор при $v<0$). Все члены на слое $n$ — схема явная, $h_x=h_y=h$.
$+2n\Delta t$ функции не содержит:
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^n}{\Delta t}-3\frac{u_{j+1,k}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h}-2\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k}^{n}}{h}=0$$Выражаем $\lambda$:
$$\lambda=1-3\frac{\Delta t}{h}-2\frac{\Delta t}{h}+3\frac{\Delta t}{h}e^{i\alpha}+2\frac{\Delta t}{h}e^{i\beta}$$Введём $r_1=|v_1|\dfrac{\Delta t}{h}=3\dfrac{\Delta t}{h}>0$, $r_2=|v_2|\dfrac{\Delta t}{h}=2\dfrac{\Delta t}{h}>0$, $r=r_1+r_2=5\dfrac{\Delta t}{h}$:
$$\lambda=1-r+r_1e^{i\alpha}+r_2e^{i\beta}.$$В наихудшем простом случае $\alpha=\beta$:
$$\lambda=1-r+r\,e^{i\alpha}$$— окружность с центром $(1-r,\,0)$ и радиусом $r$. При $r<1$ она внутри единичного круга, при $r=1$ — на границе, при $r>1$ — вне.
Схема условно устойчива: $3\dfrac{\Delta t}{h}+2\dfrac{\Delta t}{h}=5\dfrac{\Delta t}{h}\le1$. При $h=10^{-1}$: $\Delta t\le\dfrac{h}{5}=\dfrac{0{,}1}{5}=2\cdot10^{-2}$ (численная проверка даёт $|\lambda|_{\max}=1$ на границе). Обобщённое условие для всех четырёх явных 2D-схем 1-го порядка: $|v_1|\tfrac{\Delta t}{h_x}+|v_2|\tfrac{\Delta t}{h_y}\le1$.