Раздел 12. **12.** Выбрать соответствующие уравнению граничные условия. Записать схему расщепления. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — двумерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-y\frac{\partial u}{\partial x}+2x\frac{\partial u}{\partial y}=t^{2} $$

Скорости \(v_1=-y\), \(v_2=2x\); свободный член \(f=t^{2}\).

Скорости переменные: \(v_1=-y\le0\), \(v_2=2x\ge0\) на области \(x,y\in[0,1]\); знак на области постоянен, поэтому разности фиксированы (правая по \(x\), левая по \(y\)). В коэффициентах рекуррентных формул берутся локальные \(y_k\) и \(2x_j\).

2. Выбор граничных условий

По каждой координате — одно ГУ на входной (по потоку) границе:

• \(x\): \(v_1=-y\) отрицательна → правая разность, ГУ на u(t,x{=}1,y)=t^{2}+y;
• \(y\): \(v_2=2x\) положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y{=}0)=t^{2}.

$$ u(t,x{=}1,y)=t^{2}+y,\qquad u(t,x,y{=}0)=t^{2} $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y)=xy\).

3. Неявная схема и её расщепление

Запишем неявную схему (пространственные операторы на слое \(n{+}1\)) и расщепим интервал \(\Delta t\) пополам (метод дробных шагов, вопрос 17): вводим промежуточный слой \(t^{n+1/2}\). Первая подсхема неявна по \(x\), вторая — по \(y\); свободный член относим в первую:

Подсхема по \(x\) (\(n\to n{+}1/2\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/2}}{h_x}=f_{j,k}^{n} $$

Подсхема по \(y\) (\(n{+}1/2\to n{+}1\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+v_2\,\dfrac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=0 $$

Сложение подсхем восстанавливает исходную неявную схему (с точностью до записи \(u_x\) на полушаге); порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y)\), каждая подсхема абсолютно устойчива.

4. Рекуррентные соотношения подсхем

Каждая подсхема содержит лишь два значения на новом полуслое, поэтому решается не прогонкой, а напрямую рекуррентным соотношением.

Подсхема по \(x\) (вход — ГУ \(u(t,x{=}1,y)=t^{2}+y\), обход справа налево (\(j=N_x-1,\dots,1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\,u_{j+1,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n}}{1-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}} $$

Подсхема по \(y\) (вход — ГУ \(u(t,x,y{=}0)=t^{2}\), обход снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\,u_{j,k-1}^{n+1}}{1+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}} $$

Алгоритм: цикл по времени → первый полушаг (задать ГУ по \(x\), пройти справа налево (\(j=N_x-1,\dots,1\)), считать \(u^{n+1/2}\)) → второй полушаг (задать ГУ по \(y\), пройти снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\)), считать \(u^{n+1}\)); начальный слой — из НУ.

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — двумерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+3t\frac{\partial u}{\partial x}-8\frac{\partial u}{\partial y}=-2u $$

Скорости \(v_1=3t\), \(v_2=-8\); свободный член \(f=-2u\).

В PDF опечатка («\(=8\partial u/\partial y=-2u\)»); принято \(\frac{\partial u}{\partial t}+3t\frac{\partial u}{\partial x}=8\frac{\partial u}{\partial y}-2u\). Свободный член \(f=-2u\) содержит \(u\): при записи рекуррентного соотношения по \(x\) член \(-2u_{j,k}^{n}\) берут со старого слоя (линеаризация); на устойчивость дробных шагов он не влияет. \(v_1=3t\ge0\) при \(t\ge0\).

2. Выбор граничных условий

По каждой координате — одно ГУ на входной (по потоку) границе:

• \(x\): \(v_1=3t\) положительна → левая разность, ГУ на u(t,x{=}0,y)=0;
• \(y\): \(v_2=-8\) отрицательна → правая разность, ГУ на u(t,x,y{=}1)=2tx.

$$ u(t,x{=}0,y)=0,\qquad u(t,x,y{=}1)=2tx $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y)=0\).

3. Неявная схема и её расщепление

Запишем неявную схему (пространственные операторы на слое \(n{+}1\)) и расщепим интервал \(\Delta t\) пополам (метод дробных шагов, вопрос 17): вводим промежуточный слой \(t^{n+1/2}\). Первая подсхема неявна по \(x\), вторая — по \(y\); свободный член относим в первую:

Подсхема по \(x\) (\(n\to n{+}1/2\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=f_{j,k}^{n} $$

Подсхема по \(y\) (\(n{+}1/2\to n{+}1\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+v_2\,\dfrac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1}}{h_y}=0 $$

Сложение подсхем восстанавливает исходную неявную схему (с точностью до записи \(u_x\) на полушаге); порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y)\), каждая подсхема абсолютно устойчива.

4. Рекуррентные соотношения подсхем

Каждая подсхема содержит лишь два значения на новом полуслое, поэтому решается не прогонкой, а напрямую рекуррентным соотношением.

Подсхема по \(x\) (вход — ГУ \(u(t,x{=}0,y)=0\), обход слева направо (\(j=2,\dots,N_x-1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j,k}^{n}+v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\,u_{j-1,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n}}{1+v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}} $$

Подсхема по \(y\) (вход — ГУ \(u(t,x,y{=}1)=2tx\), обход сверху вниз (\(k=N_y-1,\dots,1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\,u_{j,k+1}^{n+1}}{1-v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}} $$

Алгоритм: цикл по времени → первый полушаг (задать ГУ по \(x\), пройти слева направо (\(j=2,\dots,N_x-1\)), считать \(u^{n+1/2}\)) → второй полушаг (задать ГУ по \(y\), пройти сверху вниз (\(k=N_y-1,\dots,1\)), считать \(u^{n+1}\)); начальный слой — из НУ.

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — двумерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-0{,}15\frac{\partial u}{\partial x}+0{,}1\frac{\partial u}{\partial y}=0 $$

Скорости \(v_1=-0{,}15\), \(v_2=0{,}1\); свободный член \(f=0\).

Делим уравнение на 2: \(u_t=0{,}15\,u_x-0{,}1\,u_y\) → переносим: \(u_t-0{,}15\,u_x+0{,}1\,u_y=0\).

2. Выбор граничных условий

По каждой координате — одно ГУ на входной (по потоку) границе:

• \(x\): \(v_1=-0{,}15\) отрицательна → правая разность, ГУ на u(t,x{=}1,y)=t;
• \(y\): \(v_2=0{,}1\) положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y{=}0)=0.

$$ u(t,x{=}1,y)=t,\qquad u(t,x,y{=}0)=0 $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y)=0\).

3. Неявная схема и её расщепление

Запишем неявную схему (пространственные операторы на слое \(n{+}1\)) и расщепим интервал \(\Delta t\) пополам (метод дробных шагов, вопрос 17): вводим промежуточный слой \(t^{n+1/2}\). Первая подсхема неявна по \(x\), вторая — по \(y\); свободный член относим в первую:

Подсхема по \(x\) (\(n\to n{+}1/2\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n+1/2}}{h_x}=f_{j,k}^{n} $$

Подсхема по \(y\) (\(n{+}1/2\to n{+}1\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+v_2\,\dfrac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=0 $$

Сложение подсхем восстанавливает исходную неявную схему (с точностью до записи \(u_x\) на полушаге); порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y)\), каждая подсхема абсолютно устойчива.

4. Рекуррентные соотношения подсхем

Каждая подсхема содержит лишь два значения на новом полуслое, поэтому решается не прогонкой, а напрямую рекуррентным соотношением.

Подсхема по \(x\) (вход — ГУ \(u(t,x{=}1,y)=t\), обход справа налево (\(j=N_x-1,\dots,1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j,k}^{n}-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\,u_{j+1,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n}}{1-v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}} $$

Подсхема по \(y\) (вход — ГУ \(u(t,x,y{=}0)=0\), обход снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\,u_{j,k-1}^{n+1}}{1+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}} $$

Алгоритм: цикл по времени → первый полушаг (задать ГУ по \(x\), пройти справа налево (\(j=N_x-1,\dots,1\)), считать \(u^{n+1/2}\)) → второй полушаг (задать ГУ по \(y\), пройти снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\)), считать \(u^{n+1}\)); начальный слой — из НУ.

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — двумерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}+6\frac{\partial u}{\partial x}+7t\frac{\partial u}{\partial y}=txy $$

Скорости \(v_1=6\), \(v_2=7t\); свободный член \(f=txy\).

Переносим конвекцию влево: \(u_t+6u_x+7t\,u_y=txy\). \(v_2=7t\ge0\) при \(t\ge0\).

2. Выбор граничных условий

По каждой координате — одно ГУ на входной (по потоку) границе:

• \(x\): \(v_1=6\) положительна → левая разность, ГУ на u(t,x{=}0,y)=0;
• \(y\): \(v_2=7t\) положительна → левая разность, ГУ на u(t,x,y{=}0)=0.

$$ u(t,x{=}0,y)=0,\qquad u(t,x,y{=}0)=0 $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y)=0\).

3. Неявная схема и её расщепление

Запишем неявную схему (пространственные операторы на слое \(n{+}1\)) и расщепим интервал \(\Delta t\) пополам (метод дробных шагов, вопрос 17): вводим промежуточный слой \(t^{n+1/2}\). Первая подсхема неявна по \(x\), вторая — по \(y\); свободный член относим в первую:

Подсхема по \(x\) (\(n\to n{+}1/2\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}+v_1\,\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=f_{j,k}^{n} $$

Подсхема по \(y\) (\(n{+}1/2\to n{+}1\)):

$$ \frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}+v_2\,\dfrac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y}=0 $$

Сложение подсхем восстанавливает исходную неявную схему (с точностью до записи \(u_x\) на полушаге); порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y)\), каждая подсхема абсолютно устойчива.

4. Рекуррентные соотношения подсхем

Каждая подсхема содержит лишь два значения на новом полуслое, поэтому решается не прогонкой, а напрямую рекуррентным соотношением.

Подсхема по \(x\) (вход — ГУ \(u(t,x{=}0,y)=0\), обход слева направо (\(j=2,\dots,N_x-1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1/2}=\dfrac{u_{j,k}^{n}+v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}\,u_{j-1,k}^{n+1/2}+\Delta t\,f_{j,k}^{n}}{1+v_1\dfrac{\Delta t}{h_x}} $$

Подсхема по \(y\) (вход — ГУ \(u(t,x,y{=}0)=0\), обход снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\))):

$$ u_{j,k}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k}^{n+1/2}+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}\,u_{j,k-1}^{n+1}}{1+v_2\dfrac{\Delta t}{h_y}} $$

Алгоритм: цикл по времени → первый полушаг (задать ГУ по \(x\), пройти слева направо (\(j=2,\dots,N_x-1\)), считать \(u^{n+1/2}\)) → второй полушаг (задать ГУ по \(y\), пройти снизу вверх (\(k=2,\dots,N_y-1\)), считать \(u^{n+1}\)); начальный слой — из НУ.

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — трёхмерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y+v_3 u_z=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-2{,}5\frac{\partial u}{\partial x}+3t\frac{\partial u}{\partial y}-5{,}2\frac{\partial u}{\partial z}=-1{,}8\,t\,u $$

Скорости \(v_1=-2{,}5\), \(v_2=3t\), \(v_3=-5{,}2\); свободный член \(f=-1{,}8\,t\,u\).

2. Выбор граничных условий

По одному ГУ на координату — на входной границе (по потоку):

• \(x\): \(v_1=-2{,}5\) отрицательна → правая разность, ГУ на x{=}1;
• \(y\): \(v_2=3t\) положительна → левая разность, ГУ на y{=}0;
• \(z\): \(v_3=-5{,}2\) отрицательна → правая разность, ГУ на z{=}1.

$$ u(t,x{=}1,y,z)=tyz,\quad u(t,x,y{=}0,z)=0,\quad u(t,x,y,z{=}1)=txy $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y,z)=0\).

3. Схема расщепления (метод дробных шагов)

Неявную схему расщепляем на три подсхемы — по одной на координату; \(\Delta t\) делится на три (слои \(t^{n+1/3},t^{n+2/3}\)). Каждая подсхема неявна только по своей координате (свободный член — в первую). Каждая абсолютно устойчива; суммарный порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y,h_z)\).

Подсхема по \(x\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/3}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=f_{j,k,m}^{n} $$

Подсхема по \(y\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/3}+v_2\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y}=0 $$

Подсхема по \(z\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t/3}+v_3\,\dfrac{u_{j,k,m+1}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+1}}{h_z}=0 $$

4. Рекуррентные соотношения подсхем

В каждой подсхеме лишь два значения на новом полуслое — решаются напрямую (без прогонки):

по \(x\) (вход — ГУ x{=}1):

$$ u_{j,k,m}^{n+1/3}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n}+\left|v_1\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_x}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\dfrac{\Delta t}{3}f_{j,k,m}^{n}}{1+\left|v_1\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_x}} $$

по \(y\) (вход — ГУ y{=}0):

$$ u_{j,k,m}^{n+2/3}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n+1/3}+\left|v_2\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_y}\,u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{1+\left|v_2\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_y}} $$

по \(z\) (вход — ГУ z{=}1):

$$ u_{j,k,m}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n+2/3}+\left|v_3\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_z}\,u_{j,k,m+1}^{n+1}}{1+\left|v_3\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_z}} $$

Алгоритм: цикл по времени → три последовательных полушага (по \(x\), затем \(y\), затем \(z\)); на каждом задаётся входное ГУ и узлы обходятся по потоку; начальный слой — из НУ.

1. Тип уравнения и канонический вид

Только первые производные — трёхмерное УрЧП 1-го порядка. Приводим к виду \(\dfrac{\partial u}{\partial t}+v_1 u_x+v_2 u_y+v_3 u_z=f\):

$$ \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}=-u $$

Скорости \(v_1=-1\), \(v_2=-1\), \(v_3=2\); свободный член \(f=-u\).

2. Выбор граничных условий

По одному ГУ на координату — на входной границе (по потоку):

• \(x\): \(v_1=-1\) отрицательна → правая разность, ГУ на x{=}1;
• \(y\): \(v_2=-1\) отрицательна → правая разность, ГУ на y{=}1;
• \(z\): \(v_3=2\) положительна → левая разность, ГУ на z{=}0.

$$ u(t,x{=}1,y,z)=tyz,\quad u(t,x,y{=}1,z)=txz,\quad u(t,x,y,z{=}0)=0 $$

Начальное условие: \(u(t{=}0,x,y,z)=0\).

3. Схема расщепления (метод дробных шагов)

Неявную схему расщепляем на три подсхемы — по одной на координату; \(\Delta t\) делится на три (слои \(t^{n+1/3},t^{n+2/3}\)). Каждая подсхема неявна только по своей координате (свободный член — в первую). Каждая абсолютно устойчива; суммарный порядок \(O(\Delta t,h_x,h_y,h_z)\).

Подсхема по \(x\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/3}+v_1\,\dfrac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{h_x}=f_{j,k,m}^{n} $$

Подсхема по \(y\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/3}+v_2\,\dfrac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{h_y}=0 $$

Подсхема по \(z\):

$$ \frac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t/3}+v_3\,\dfrac{u_{j,k,m}^{n+1}-u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z}=0 $$

4. Рекуррентные соотношения подсхем

В каждой подсхеме лишь два значения на новом полуслое — решаются напрямую (без прогонки):

по \(x\) (вход — ГУ x{=}1):

$$ u_{j,k,m}^{n+1/3}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n}+\left|v_1\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_x}\,u_{j+1,k,m}^{n+1/3}+\dfrac{\Delta t}{3}f_{j,k,m}^{n}}{1+\left|v_1\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_x}} $$

по \(y\) (вход — ГУ y{=}1):

$$ u_{j,k,m}^{n+2/3}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n+1/3}+\left|v_2\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_y}\,u_{j,k+1,m}^{n+2/3}}{1+\left|v_2\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_y}} $$

по \(z\) (вход — ГУ z{=}0):

$$ u_{j,k,m}^{n+1}=\dfrac{u_{j,k,m}^{n+2/3}+\left|v_3\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_z}\,u_{j,k,m-1}^{n+1}}{1+\left|v_3\right|\dfrac{\Delta t}{3\,h_z}} $$

Алгоритм: цикл по времени → три последовательных полушага (по \(x\), затем \(y\), затем \(z\)); на каждом задаётся входное ГУ и узлы обходятся по потоку; начальный слой — из НУ.