|
9. Для численного решения уравнения
| |
\(\displaystyle \frac{du}{dt} = \frac{3u}{t}\) |
|
используется метод Рунге-Кутта 3-го порядка. Определите, в каком случае расчёт выполнен без ошибок, если
| |
\(\displaystyle \tau = 0{,}1; \qquad u(t = 1) = 1; \qquad u(t^0 + \tau) - ?\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3\,\frac{1}{1 + 0{,}05} + 0{,}05 \cdot 3 = 3{,}007143;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 - 0{,}1k_1 + 0{,}2k_2) = 3\,\frac{1}{1 + 0{,}1} - 0{,}1 \cdot 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}007143 = 3{,}028701;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(3 + 4 \cdot 3{,}007143 + 3{,}028701) = 1{,}300955.\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3\,\frac{1 + 0{,}05 \cdot 3}{1 + 0{,}05} = 3{,}285714;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 - 0{,}1k_1 + 0{,}2k_2) = 3\,\frac{1 - 0{,}1 \cdot 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}285714}{1 + 0{,}1} = 3{,}701299;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(2k_1 + 4k_2 + 2k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3{,}285714 + 2 \cdot 3{,}701299) = 1{,}332900.\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3\,\frac{1 + 0{,}05 \cdot 3}{1 + 0{,}05} = 3{,}285714;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 + 0{,}1k_2) = 3\,\frac{1 + 0{,}1 \cdot 3{,}285714}{1 + 0{,}1} = 3{,}623377;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(3 + 4 \cdot 3{,}285714 + 3{,}623377) = 1{,}329437.\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3\,\frac{1 + 0{,}05 \cdot 3}{1 + 0{,}05} = 3{,}285714;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 - 0{,}1k_1 + 0{,}2k_2) = 3\,\frac{1 - 0{,}1 \cdot 3{,}285714 + 0{,}2 \cdot 3}{1 + 0{,}1} = 3{,}467533;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(3 + 4 \cdot 3{,}285714 + 3{,}467533) = 1{,}326840.\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3\,\frac{1 + 0{,}05 \cdot 3}{1 + 0{,}05} = 3{,}285714;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 - 0{,}1k_1 + 0{,}2k_2) = 3\,\frac{1 - 0{,}1 \cdot 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}285714}{1 + 0{,}1} = 3{,}701299;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(3 + 4 \cdot 3{,}285714 + 3{,}701299) = 1{,}330736.\) |
|
|
\(\displaystyle k_1 = f(t^0,\ u^0) = \frac{3 \cdot 1}{1} = 3;\quad k_2 = f(t^0 + 0{,}05,\ u^0 + 0{,}05k_1) = 3 \cdot \frac{1 + 0{,}05 \cdot 3}{1} + 0{,}05 = 3{,}5;\quad k_3 = f(t^0 + 0{,}1,\ u^0 - 0{,}1k_1 + 0{,}2k_2) = 3 \cdot \frac{1 - 0{,}1 \cdot 3 + 0{,}2 \cdot 3{,}5}{1} + 0{,}1 = 4{,}3;\quad u^{0,1} = u^0 + \frac{0{,}1}{6}(k_1 + 4k_2 + k_3) = 1 + \frac{0{,}1}{6}(3 + 4 \cdot 3{,}5 + 4{,}3) = 1{,}355.\) |
|