|
3. Выберите правильное доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы
| |
\(\displaystyle \frac{c_j^{n+1} - c_j^n}{\Delta t} = D \frac{c_{j+1}^{n+1} - 2c_j^{n+1} + c_{j-1}^{n+1}}{h^2} - kc_j^{n+1},\) |
|
аппроксимирующей дифференциальное уравнение из задания № 2.
|
\(\displaystyle c_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} = D \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h^2}; \quad \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = D \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1 + \frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}(e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}); \quad \lambda + 4\frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{1 + 4\frac{\Delta t\, D}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}} \le 1.\) |
|
|
\(\displaystyle c_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} = D \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h^2} - k\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}; \quad \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = D \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} - k\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1 + \frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}(e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}) - \Delta t\, k\lambda; \quad \lambda + 4\frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2} + \Delta t\, k\lambda = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{1 + 4\frac{\Delta t\, D}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2} + \Delta t\, k} \le 1.\) |
|
|
\(\displaystyle c_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} = D \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h^2} - k\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}; \quad \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = D \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} - k\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1 + \frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}(e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}) - \Delta t\, k\lambda; \quad \lambda = 1 - 4\frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2} - \Delta t\, k\lambda \le 1.\) |
|
|
\(\displaystyle c_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} = D \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1}e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h^2} - k\lambda^n e^{i\alpha j}; \quad \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = D \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} - k \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1 + \frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}(e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}) - \Delta t\, k; \quad \lambda + 4\frac{\Delta t\, D\lambda}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \Delta t\, k \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1 - \Delta t\, k}{1 + 4\frac{\Delta t\, D}{h^2}\sin^2\frac{\alpha}{2}} \le 1.\) |
|