|
4. Одномерное дифференциальное уравнение параболического типа
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 0{,}3 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 1{,}7u + 2tx\) |
|
аппроксимируется неявной разностной схемой
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 0{,}3 \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - 1{,}7u_j^{n+1} + 2\Delta t\, nh(j-1).\) |
|
Выберите правильное решение задачи приведения данной разностной схемы к виду,
удобному для использования метода прогонки, и определения сходимости прогонки.
|
\(\displaystyle -\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t\right)u_j^{n+1} - \frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j-1}^{n+1} = u_j^n + 2\Delta t^2 nh(j-1); \quad a_j = c_j = -\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t, \quad \xi_j^n = u_j^n + 2\Delta t^2 nh(j-1); \quad |a_j| + |c_j| = \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} < 1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t = b_j \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится.}\) |
|
|
\(\displaystyle -\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t\right)u_j^{n+1} - \frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j-1}^{n+1} = u_j^n + 2\Delta t^2 nh(j-1); \quad a_j = c_j = \frac{0{,}3\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t, \quad \xi_j^n = u_j^n + 2\Delta t^2 nh(j-1); \quad |a_j| + |c_j| = \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} < 1 + \frac{0{,}6\Delta t}{h^2} + 1{,}7\Delta t = b_j \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится.}\) |
|
|
\(\displaystyle -\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j+1}^{n+1}+\left(1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}\right)u_j^{n+1}-\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j-1}^{n+1}=u_j^n-1{,}7\Delta t\,u_j^n+2\Delta t^2 nh(j-1);\\ a_j=c_j=-\frac{0{,}3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n-1{,}7\Delta t\,u_j^n+2\Delta t^2 nh(j-1);\\ |a_j|+|c_j|=\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}<1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}=b_j\ \Rightarrow\ \text{прогонка сходится.}\) |
|
|
\(\displaystyle -\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j+1}^{n+1}+\left(1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}-1{,}7\Delta t\right)u_j^{n+1}-\frac{0{,}3\Delta t}{h^2}u_{j-1}^{n+1}=u_j^n+2\Delta t^2 nh(j-1);\\ a_j=c_j=-\frac{0{,}3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}-1{,}7\Delta t,\quad \xi_j^n=u_j^n+2\Delta t^2 nh(j-1);\\ |a_j|+|c_j|=\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}<1+\frac{0{,}6\Delta t}{h^2}-1{,}7\Delta t=b_j\ \Rightarrow\ \text{прогонка сходится при }\Delta t<1/1{,}7.\) |
|