|
3. Дифференциальное уравнение
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - 4\frac{\partial u}{\partial x} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 7u\) |
|
аппроксимируется неявной разностной схемой
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 4\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{2h} = 3\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - 7u_j^{n+1}.\) |
|
Выберите правильное решение задачи приведения данной разностной схемы к виду, удобному для использования
метода прогонки, и определения сходимости прогонки (учитывая, что шаг по координате h следует
задавать не больше 0,1).
|
\(\displaystyle -\left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t\right)u_j^{n+1} - \left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j-1}^{n+1} = u_j^n;\\ a_j = c_j = -2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t, \quad \xi_j^n = u_j^n.\\ |a_j| + |c_j| = 4\frac{\Delta t}{h} + 6\frac{\Delta t}{h^2} < 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t = |b_j| \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится при } \Delta t < \frac{h}{4 - 7h}\) |
|
|
\(\displaystyle -\left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + 6\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_j^{n+1} - \left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j-1}^{n+1} = u_j^n;\\ a_j = c_j = -2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2}, \quad \xi_j^n = u_j^n.\\ |a_j| + |c_j| = 4\frac{\Delta t}{h} + 6\frac{\Delta t}{h^2} < 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} = |b_j| \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится при } \Delta t < \frac{h}{4}\) |
|
|
\(\displaystyle -\left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t\right)u_j^{n+1} + \left(2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j-1}^{n+1} = u_j^n;\\ a_j = -2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t, \quad c_j = 2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad \xi_j^n = u_j^n.\\ h \le 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h} \le \frac{1}{h^2} \quad \Rightarrow \quad 2\frac{\Delta t}{h} \le 3\frac{\Delta t}{h^2} \quad |c_j| = 3\frac{\Delta t}{h^2} - 2\frac{\Delta t}{h}\\ |a_j| + |c_j| = 6\frac{\Delta t}{h^2} < 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t = |b_j| \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится.}\) |
|
|
\(\displaystyle -\left(2\frac{\Delta t}{h} + 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t\right)u_j^{n+1} - \left(2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}\right)u_{j-1}^{n+1} = u_j^n;\\ a_j = -2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad b_j = 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t, \quad c_j = 2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}, \quad \xi_j^n = u_j^n.\\ h \le 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h} \le \frac{1}{h^2} \quad \Rightarrow \quad 2\frac{\Delta t}{h} \le 3\frac{\Delta t}{h^2} \quad |c_j| = 2\frac{\Delta t}{h} - 3\frac{\Delta t}{h^2}\\ |a_j| + |c_j| = 4\frac{\Delta t}{h} < 1 + 6\frac{\Delta t}{h^2} + 7\Delta t = |b_j| \quad \Rightarrow \quad \text{прогонка сходится.}\) |
|