Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Тренажёры · Глава 5

Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Задания для самоконтроля

4. Выберите правильное решение задачи исследования устойчивости неявной разностной схемы

\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=3n\Delta t h(j-1)-\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}-7u_j^{n+1},\)

аппроксимирующей следующее дифференциальное уравнение:

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=3t\frac{\partial u}{\partial x}-7u.\)

	\(\displaystyle u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}\ \Rightarrow\ \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t}=-\frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h};\\ \frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{\lambda-\lambda e^{-i\alpha}}{h};\\ \lambda\left(1+\frac{\Delta t}{h}-\frac{\Delta t}{h}e^{-i\alpha}\right)=1;\\ \frac{1}{\lambda}=1+r-re^{-i\alpha},\qquad r=\frac{\Delta t}{h}.\\ \text{Схема абсолютно устойчива.}\)

	\(\displaystyle u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}\ \Rightarrow\ \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t}=-\frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h}-7\lambda^{n+1}e^{i\alpha j};\\ \frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{\lambda-\lambda e^{-i\alpha}}{h}-7\lambda;\\ \lambda\left(1+\frac{\Delta t}{h}+7\Delta t-\frac{\Delta t}{h}e^{-i\alpha}\right)=1;\\ \frac{1}{\lambda}=1+r+7\Delta t-re^{-i\alpha},\qquad r=\frac{\Delta t}{h}.\\ \text{Схема абсолютно устойчива.}\)

	\(\displaystyle u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}\ \Rightarrow\ \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t}=-\frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h}-7\lambda^{n+1}e^{i\alpha j};\\ \frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{\lambda-\lambda e^{-i\alpha}}{h}-7\lambda;\\ \lambda=1+r+7\Delta t-re^{-i\alpha},\qquad r=\frac{\Delta t}{h}.\\ \text{Схема неустойчива.}\)

	\(\displaystyle u_j^n=\lambda^n e^{i\alpha j}\ \Rightarrow\ \frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t}=-\frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha j}-\lambda^{n+1}e^{i\alpha(j-1)}}{h}-7\lambda^{n+1}e^{i\alpha j};\\ \frac{\lambda-1}{\Delta t}=-\frac{\lambda-\lambda e^{-i\alpha}}{h}-7\lambda;\\ \lambda\left(1+\frac{\Delta t}{h}+7\Delta t-\frac{\Delta t}{h}e^{-i\alpha}\right)=1;\\ \frac{1}{\lambda}=1-r+7\Delta t+re^{-i\alpha},\qquad r=-\frac{\Delta t}{h}.\\ \text{Схема устойчива при выполнении условия }r\le 7\Delta t.\)

← Задание 3Задание 4 из 7Задание 5 →